Как решить уравнение ctg(x - П/4) = 1/sqrt3 и найти наименьший положительный корень этого уравнения, выразив его в градусах, с подробным решением?

Алгебра 11 класс Тригонометрические уравнения решение уравнения ctg(x - П/4) наименьший положительный корень уравнение с корнями алгебра 11 класс тригонометрические уравнения нахождение корней уравнения подробное решение уравнения ctg и sqrt3 угол в градусах Новый

Чтобы решить уравнение ctg(x - П/4) = 1/sqrt(3), начнем с того, что вспомним определение котангенса. Котангенс угла равен отношению косинуса к синусу:

ctg(α) = cos(α) / sin(α)

В нашем случае мы имеем:

ctg(x - П/4) = 1/sqrt(3)

Это значит, что:

cos(x - П/4) / sin(x - П/4) = 1/sqrt(3)

Теперь мы можем выразить это уравнение в виде:

cos(x - П/4) = (1/sqrt(3)) * sin(x - П/4)

Мы знаем, что cotg(θ) = 1/sqrt(3) соответствует углам, где тангенс равен sqrt(3). Это происходит при:

• θ = 30° (или П/6 радиан)
• θ = 210° (или 7П/6 радиан)

Поскольку мы имеем углы, соответствующие котангенсу, мы можем записать:

x - П/4 = n * П + П/6

или

x - П/4 = n * П + 7П/6

где n - любое целое число.

Теперь решим каждое из этих уравнений:

1. x - П/4 = n * П + П/6
2. x - П/4 = n * П + 7П/6

Решим первое уравнение:

x = n * П + П/6 + П/4

Приведем дроби к общему знаменателю:

П/6 = 2П/12

П/4 = 3П/12

Таким образом:

x = n * П + (2П/12 + 3П/12) = n * П + 5П/12

Теперь решим второе уравнение:

x = n * П + 7П/6 + П/4

Также приведем дроби к общему знаменателю:

7П/6 = 14П/12

П/4 = 3П/12

Таким образом:

x = n * П + (14П/12 + 3П/12) = n * П + 17П/12

Теперь у нас есть два семейства решений:

• x = n * П + 5П/12
• x = n * П + 17П/12

Теперь найдем наименьшие положительные корни:

Для первого уравнения, подставим n = 0:

x = 5П/12

Для второго уравнения, подставим n = 0:

x = 17П/12

Теперь преобразуем эти значения в градусы:

П = 180°

5П/12 = 5 * 180° / 12 = 75°

17П/12 = 17 * 180° / 12 = 255°

Таким образом, наименьший положительный корень уравнения:

x = 75°

Ответ: наименьший положительный корень уравнения ctg(x - П/4) = 1/sqrt(3) равен 75°.