Чтобы решить уравнение log_(1/2)(x) = log_(0.2)(35) - 2 log_(0.2)(25 sqrt(7)), давайте разберем его шаг за шагом.

1. Сначала упростим правую часть уравнения. Мы знаем, что 2 log_(0.2)(25 sqrt(7)) можно переписать как log_(0.2)((25 sqrt(7))^2) по свойству логарифмов, которое гласит: k * log(a) = log(a^k).

2. Теперь вычислим (25 sqrt(7))^2:

   • (25 sqrt(7))^2 = 25^2 * (sqrt(7))^2 = 625 * 7 = 4375.

3. Таким образом, мы можем переписать правую часть уравнения:

   log_(0.2)(35) - log_(0.2)(4375).

4. Теперь применим свойство логарифмов, которое утверждает, что log(a) - log(b) = log(a/b). Это позволит нам объединить логарифмы:

   log_(0.2)(35/4375).

5. Теперь вычислим 35/4375:

   • 35/4375 = 35/(25*175) = 1/(125) = 0.008.

6. Теперь у нас есть:

   log_(1/2)(x) = log_(0.2)(0.008).

7. Теперь упростим log_(0.2)(0.008). Мы знаем, что 0.008 = 8 * 10^(-3) = (2^3) * (10^(-3)). Также, 0.2 = 2^(-1).

   Таким образом, мы можем выразить логарифм:

   • log_(0.2)(0.008) = log_(0.2)(2^(-3)) = -3 * log_(0.2)(2).
   • Так как log_(0.2)(2) = -1, получаем: log_(0.2)(0.008) = -3 * (-1) = 3.

8. Теперь у нас есть:

   log_(1/2)(x) = 3.

9. Теперь мы можем переписать это уравнение в экспоненциальной форме:

   x = (1/2)^3.

10. Вычислим (1/2)^3:

    • (1/2)^3 = 1/8.

Таким образом, решением уравнения является:

x = 1/8.