Чтобы решить уравнение log3½(x-2)log5x=2log3(x-2), давайте начнем с разбора каждого логарифма и упрощения уравнения.

1. Определим переменные:
   • Обозначим y = log3(x-2).
   • Тогда log5x можно выразить через log3, используя изменение основания логарифма: log5x = log3x / log35.
2. Подставим выражения в уравнение:
   • У нас есть log3½(x-2) = ½log3(x-2) = ½y.
   • Подставим это в уравнение: ½y * (log3x / log35) = 2y.
3. Упростим уравнение:
   • Умножим обе стороны на 2log35, чтобы избавиться от дроби: y * log3x = 4y * log35.
   • Если y ≠ 0, можем разделить обе стороны на y: log3x = 4log35.
4. Решим уравнение:
   • Используя свойства логарифмов, получаем: x = 3^(4log35).
   • Это можно упростить: x = 35^4, так как log3(3^a) = a.
5. Проверим условия:
   • Необходимо, чтобы x - 2 > 0, то есть x > 2.
   • Так как 35^4 > 2, условие выполняется.

Таким образом, окончательный ответ: x = 35^4.