Как решить уравнение: логарифм по основанию 2/3 от (корень из x + 1)/(корень из 2x - 1) равен 1?

Алгебра 11 класс Логарифмы решение уравнения логарифм основание 2/3 корень из x корень из 2x алгебра 11 класс Новый

Чтобы решить уравнение логарифма, давайте запишем его в более удобной форме. У нас есть следующее уравнение:

лог(2/3)((корень из x + 1)/(корень из 2x - 1)) = 1

Сначала мы можем преобразовать это уравнение, используя определение логарифма. Если логарифм по основанию a от b равен c, то a в степени c равно b. В нашем случае это выглядит так:

(2/3)¹ = (корень из x + 1)/(корень из 2x - 1>

Теперь мы можем упростить это уравнение:

2/3 = (корень из x + 1)/(корень из 2x - 1)

Далее, мы можем воспользоваться свойством дроби и перемножить обе стороны на (корень из 2x - 1):

(2/3) * (корень из 2x - 1) = корень из x + 1

Теперь умножим обе стороны на 3, чтобы избавиться от дроби:

2 * (корень из 2x - 1) = 3 * (корень из x + 1)

Теперь у нас есть уравнение, которое можно упростить:

2 * корень из 2x - 1 = 3 * корень из x + 3

Теперь мы можем возвести обе стороны уравнения в квадрат, чтобы избавиться от корней:

(2 * корень из 2x - 1)² = (3 * корень из x + 3)²

Раскроем скобки:

4 * (2x - 1) = 9 * (x + 1) + 18 * корень из x

Упростим левую часть:

8x - 4 = 9x + 9 + 18 * корень из x

Переносим все члены на одну сторону:

8x - 9x - 4 - 9 = 18 * корень из x

Получаем:

-x - 13 = 18 * корень из x

Теперь мы можем выразить корень из x:

корень из x = (-x - 13)/18

Возводим обе стороны в квадрат:

x = ((-x - 13)/18)²

Теперь раскроем скобки и упростим:

x = (x² + 26x + 169)/324

Умножим обе стороны на 324, чтобы избавиться от дроби:

324x = x² + 26x + 169

Переносим все на одну сторону:

x² - 298x + 169 = 0

Теперь мы можем решить это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

D = b² - 4ac = (-298)² - 4 * 1 * 169

Посчитаем дискриминант:

D = 88804 - 676 = 88128

Теперь находим корни уравнения:

x = (298 ± корень из D) / 2

Подставляем значение дискриминанта:

x = (298 ± корень из 88128) / 2

Корень из 88128 можно упростить, но в любом случае у нас будет два значения x. Не забудьте проверить каждое из них на допустимость, так как логарифм требует, чтобы аргумент был положительным.

Таким образом, решение уравнения будет включать в себя два корня, которые необходимо проверить.