Как решить уравнение: sin^2(2x) + |sin(2x)| = 4cos^2(x) с полным оформлением?
Алгебра 11 класс Тригонометрические уравнения решение уравнения алгебра 11 класс sin^2(2x) |sin(2x)| 4cos^2(x) полное оформление решения Новый
Для решения уравнения sin^2(2x) + |sin(2x)| = 4cos^2(x) мы будем следовать нескольким шагам.
Шаг 1: Подстановка и преобразование
Начнем с упрощения уравнения. Заменим sin(2x) на y. Тогда у нас получится:
Таким образом, уравнение можно переписать как:
y^2 + |y| = 4cos^2(x)
Шаг 2: Рассмотрим два случая для |y|
Поскольку |y| может принимать два значения, рассмотрим два случая:
В этом случае |y| = y, и уравнение примет вид:
y^2 + y = 4cos^2(x)Перепишем его в стандартной форме:
y^2 + y - 4cos^2(x) = 0Это квадратное уравнение относительно y. Используем формулу корней квадратного уравнения:
y = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / 2a, где a = 1, b = 1, c = -4cos^2(x).Подставим значения:
y = (-1 ± √(1 + 16cos^2(x))) / 2В этом случае |y| = -y, и уравнение станет:
y^2 - y = 4cos^2(x)Переписываем в стандартной форме:
y^2 - y - 4cos^2(x) = 0Аналогично, решим это уравнение:
y = (1 ± √(1 + 16cos^2(x))) / 2Шаг 3: Объединение решений
Теперь у нас есть два выражения для y:
Однако, поскольку y = sin(2x), нам нужно учесть ограничения для синуса:
-1 ≤ y ≤ 1
Теперь мы можем найти значения x, подставляя найденные значения y обратно в выражение sin(2x) и решая для x.
Шаг 4: Решение для x
После нахождения возможных значений y, мы можем использовать обратную функцию синуса:
Таким образом, для каждого найденного значения y мы можем найти соответствующие значения x.
Шаг 5: Проверка решений
Не забудьте проверить каждое найденное значение x в исходном уравнении, чтобы убедиться, что оно действительно является решением.
Таким образом, мы пришли к полному решению уравнения. Убедитесь, что вы проверили все возможные значения и случаи для y, чтобы не упустить решения.