Как решить уравнение: sin^2(2x) + |sin(2x)| = 4cos^2(x) с полным оформлением?

Алгебра 11 класс Тригонометрические уравнения решение уравнения алгебра 11 класс sin^2(2x) |sin(2x)| 4cos^2(x) полное оформление решения Новый

Для решения уравнения sin^2(2x) + |sin(2x)| = 4cos^2(x) мы будем следовать нескольким шагам.

Шаг 1: Подстановка и преобразование

Начнем с упрощения уравнения. Заменим sin(2x) на y. Тогда у нас получится:

• sin^2(2x) = y^2
• |sin(2x)| = |y|

Таким образом, уравнение можно переписать как:

y^2 + |y| = 4cos^2(x)

Шаг 2: Рассмотрим два случая для |y|

Поскольку |y| может принимать два значения, рассмотрим два случая:

1. Случай 1: y >= 0

В этом случае |y| = y, и уравнение примет вид:

y^2 + y = 4cos^2(x)

Перепишем его в стандартной форме:

y^2 + y - 4cos^2(x) = 0

Это квадратное уравнение относительно y. Используем формулу корней квадратного уравнения:

y = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / 2a, где a = 1, b = 1, c = -4cos^2(x).

Подставим значения:

y = (-1 ± √(1 + 16cos^2(x))) / 2
2. Случай 2: y < 0

В этом случае |y| = -y, и уравнение станет:

y^2 - y = 4cos^2(x)

Переписываем в стандартной форме:

y^2 - y - 4cos^2(x) = 0

Аналогично, решим это уравнение:

y = (1 ± √(1 + 16cos^2(x))) / 2

Шаг 3: Объединение решений

Теперь у нас есть два выражения для y:

• Случай 1: y = (-1 ± √(1 + 16cos^2(x))) / 2
• Случай 2: y = (1 ± √(1 + 16cos^2(x))) / 2

Однако, поскольку y = sin(2x), нам нужно учесть ограничения для синуса:

-1 ≤ y ≤ 1

Теперь мы можем найти значения x, подставляя найденные значения y обратно в выражение sin(2x) и решая для x.

Шаг 4: Решение для x

После нахождения возможных значений y, мы можем использовать обратную функцию синуса:

• Если y = sin(2x), то 2x = arcsin(y) + 2kπ или 2x = π - arcsin(y) + 2kπ, где k - целое число.

Таким образом, для каждого найденного значения y мы можем найти соответствующие значения x.

Шаг 5: Проверка решений

Не забудьте проверить каждое найденное значение x в исходном уравнении, чтобы убедиться, что оно действительно является решением.

Таким образом, мы пришли к полному решению уравнения. Убедитесь, что вы проверили все возможные значения и случаи для y, чтобы не упустить решения.