Как решить уравнение: sin^2(x) - cos^2(x) = cos(x/2)?

Алгебра 11 класс Тригонометрические уравнения решение уравнения алгебра 11 класс sin^2(x) cos^2(x) cos(x/2) Новый

Чтобы решить уравнение sin^2(x) - cos^2(x) = cos(x/2), начнем с анализа левой части уравнения. Мы можем воспользоваться тригонометрической тождественностью, которая гласит, что sin^2(x) - cos^2(x) = -cos(2x). Это позволяет переписать уравнение в более удобной форме.

Теперь перепишем уравнение:

• -cos(2x) = cos(x/2)

Чтобы избавиться от минуса, умножим обе стороны уравнения на -1:

• cos(2x) = -cos(x/2)

Теперь мы можем использовать свойство косинуса, которое гласит, что cos(a) = -cos(b) приводит к равенству a = (2k + 1)π ± b, где k - целое число. В нашем случае:

• 2x = (2k + 1)π ± (x/2)

Решим это уравнение по двум случаям:

1. Случай 1: 2x = (2k + 1)π + (x/2)
• Переносим x/2 на левую сторону: 2x - x/2 = (2k + 1)π
• Приводим к общему знаменателю: (4x - x)/2 = (2k + 1)π
• Получаем: 3x/2 = (2k + 1)π
• Умножаем обе стороны на 2/3: x = (2/3)(2k + 1)π
2. Случай 2: 2x = (2k + 1)π - (x/2)
• Переносим x/2 на левую сторону: 2x + x/2 = (2k + 1)π
• Приводим к общему знаменателю: (4x + x)/2 = (2k + 1)π
• Получаем: 5x/2 = (2k + 1)π
• Умножаем обе стороны на 2/5: x = (2/5)(2k + 1)π

Таким образом, мы получили два семейства решений:

• x = (2/3)(2k + 1)π, k ∈ Z
• x = (2/5)(2k + 1)π, k ∈ Z

Это и есть общее решение нашего уравнения. Не забудьте, что в зависимости от конкретной задачи могут быть заданы ограничения на x, например, в пределах одного периода функции.