Как решить уравнение Sin^2x - 2cos^2x = sin2x?

Алгебра 11 класс Тригонометрические уравнения решение уравнения алгебра sin^2x cos^2x sin2x тригонометрические функции уравнения математика алгебраические методы Новый

Давайте решим уравнение Sin^2x - 2cos^2x = sin2x пошагово.

1. Начнем с того, что у нас есть тригонометрические функции, которые можно преобразовать, используя известные тождества. В частности, мы можем воспользоваться тождеством для синуса двойного угла:

• sin(2x) = 2sin(x)cos(x)

2. Теперь перепишем уравнение, подставив это тождество:

Sin^2x - 2cos^2x = 2sin(x)cos(x)

3. Далее, чтобы упростить уравнение, давайте выразим все через одну тригонометрическую функцию. Мы знаем, что sin^2x + cos^2x = 1, откуда sin^2x = 1 - cos^2x. Подставим это в уравнение:

(1 - cos^2x) - 2cos^2x = 2sin(x)cos(x)

4. Упрощаем левую часть:

1 - cos^2x - 2cos^2x = 1 - 3cos^2x

Таким образом, уравнение принимает вид:

1 - 3cos^2x = 2sin(x)cos(x)

5. Теперь подставим sin(x) = sqrt(1 - cos^2(x)) (или sin(x) = -sqrt(1 - cos^2(x)), но это даст те же корни, так как мы будем возводить в квадрат). Подставим это в уравнение:

1 - 3cos^2x = 2sqrt(1 - cos^2x)cos(x)

6. Теперь возведем обе стороны уравнения в квадрат, чтобы избавиться от корня:

(1 - 3cos^2x)^2 = (2sqrt(1 - cos^2x)cos(x))^2

1 - 6cos^2x + 9cos^4x = 4(1 - cos^2x)cos^2x

7. Раскроем правую часть:

1 - 6cos^2x + 9cos^4x = 4cos^2x - 4cos^4x

8. Переносим все в одну сторону:

9cos^4x + 4cos^4x - 6cos^2x - 4cos^2x + 1 = 0

10cos^4x - 10cos^2x + 1 = 0

9. Обозначим y = cos^2x. Тогда уравнение становится:

10y^2 - 10y + 1 = 0

10. Решим это квадратное уравнение по формуле:

y = (-b ± sqrt(b^2 - 4ac)) / 2a

• a = 10
• b = -10
• c = 1

11. Подставим значения:

y = (10 ± sqrt((-10)^2 - 4 * 10 * 1)) / (2 * 10)

y = (10 ± sqrt(100 - 40)) / 20

y = (10 ± sqrt(60)) / 20

y = (10 ± 2sqrt(15)) / 20

y = (5 ± sqrt(15)) / 10

12. Теперь вернемся к переменной cos^2x:

cos^2x = (5 + sqrt(15)) / 10

или

cos^2x = (5 - sqrt(15)) / 10

13. Найдем значения x:

• cos(x) = ±sqrt((5 + sqrt(15)) / 10)
• cos(x) = ±sqrt((5 - sqrt(15)) / 10)

14. Используя обратные функции, найдем углы x. Не забудьте учесть, что косинус имеет период 2π:

x = arccos(sqrt((5 + sqrt(15)) / 10)) + 2kπ

x = -arccos(sqrt((5 + sqrt(15)) / 10)) + 2kπ

и аналогично для второго корня.

Таким образом, мы нашли все решения уравнения.