Для решения уравнения sin 2x + cos 2x = 2cos² x начнем с использования известных тригонометрических тождеств.

Во-первых, вспомним, что:

• sin 2x = 2sin x cos x (формула удвоенного угла для синуса)
• cos 2x = cos² x - sin² x (формула удвоенного угла для косинуса)

Теперь подставим эти формулы в наше уравнение:

sin 2x + cos 2x = 2cos² x

2sin x cos x + (cos² x - sin² x) = 2cos² x

Теперь упростим уравнение:

• 2sin x cos x + cos² x - sin² x - 2cos² x = 0
• 2sin x cos x - sin² x - cos² x = 0

Теперь объединим подобные слагаемые:

-sin² x + 2sin x cos x - cos² x = 0

Теперь мы можем выразить это уравнение в более удобной форме:

sin² x - 2sin x cos x + cos² x = 0

Обратите внимание, что sin² x + cos² x = 1, поэтому мы можем заменить cos² x:

sin² x - 2sin x (1 - sin² x) = 0

Раскроем скобки:

sin² x - 2sin x + 2sin³ x = 0

Теперь упростим уравнение:

2sin³ x - 2sin x + sin² x = 0

Теперь вынесем общий множитель:

sin x (2sin² x - 2 + sin x) = 0

Теперь у нас есть два случая:

1. sin x = 0
2. 2sin² x - 2 + sin x = 0

Решим первый случай:

sin x = 0, значит x = nπ, где n - целое число.

Теперь решим второй случай:

2sin² x + sin x - 2 = 0.

Это квадратное уравнение относительно sin x. Используем формулу для решения квадратного уравнения:

sin x = (-b ± √(b² - 4ac)) / 2a, где a = 2, b = 1, c = -2.

Подставим значения:

sin x = ( -1 ± √(1 + 16) ) / 4 = ( -1 ± √17 ) / 4.

Таким образом, у нас есть два значения для sin x:

• sin x = ( -1 + √17 ) / 4
• sin x = ( -1 - √17 ) / 4 (это значение не подходит, так как синус не может быть меньше -1)

Теперь найдем x для первого значения:

x = arcsin(( -1 + √17 ) / 4) + 2kπ и x = π - arcsin(( -1 + √17 ) / 4) + 2kπ, где k - целое число.

Таким образом, все решения уравнения:

• x = nπ, где n - целое число;
• x = arcsin(( -1 + √17 ) / 4) + 2kπ, k - целое число;
• x = π - arcsin(( -1 + √17 ) / 4) + 2kπ, k - целое число.