Как решить уравнение: sin 2x + tg x = 2?

Алгебра 11 класс Тригонометрические уравнения решение уравнения алгебра Тригонометрия sin 2x tg x математические уравнения Новый

Чтобы решить уравнение sin 2x + tg x = 2, давайте сначала вспомним, что такое sin 2x и tg x.

Формула двойного угла для синуса выглядит так:

• sin 2x = 2 * sin x * cos x

Также напомним, что тангенс выражается как:

• tg x = sin x / cos x

Теперь подставим эти выражения в исходное уравнение:

2 * sin x * cos x + sin x / cos x = 2

Чтобы избавиться от дроби, умножим всё уравнение на cos x (при условии, что cos x ≠ 0):

2 * sin x * cos^2 x + sin x = 2 * cos x

Теперь соберем все члены в одну сторону:

2 * sin x * cos^2 x + sin x - 2 * cos x = 0

Теперь выделим sin x:

sin x (2 * cos^2 x + 1) - 2 * cos x = 0

Это уравнение можно решить, приравняв каждое из множителей к нулю:

1. sin x = 0
2. 2 * cos^2 x + 1 - 2 * cos x = 0

Решим первое уравнение:

sin x = 0 дает нам решения:

• x = k * π, где k – целое число.

Теперь перейдем ко второму уравнению:

2 * cos^2 x - 2 * cos x + 1 = 0

Это квадратное уравнение относительно cos x. Обозначим y = cos x, тогда уравнение примет вид:

2y^2 - 2y + 1 = 0

Решим его с помощью дискриминанта:

D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 * 2 * 1 = 4 - 8 = -4

Поскольку дискриминант отрицательный, это уравнение не имеет действительных корней.

Таким образом, единственными решениями нашего исходного уравнения являются:

• x = k * π, где k – целое число.

Это и есть окончательный ответ.