Как решить уравнение sin(3a) / sin(a) + cos(3a) / cos(a)?

Алгебра 11 класс Тригонометрические уравнения решить уравнение синус косинус алгебра 11 класс тригонометрические функции Новый

Чтобы решить уравнение sin(3a) / sin(a) + cos(3a) / cos(a) = 0, начнем с преобразования его в более удобный вид.

Во-первых, воспользуемся формулами для тригонометрических функций:

• sin(3a) = 3sin(a) - 4sin^3(a)
• cos(3a) = 4cos^3(a) - 3cos(a)

Подставим эти выражения в уравнение:

sin(3a) / sin(a) = (3sin(a) - 4sin^3(a)) / sin(a) = 3 - 4sin^2(a)

cos(3a) / cos(a) = (4cos^3(a) - 3cos(a)) / cos(a) = 4cos^2(a) - 3

Теперь у нас есть:

3 - 4sin^2(a) + 4cos^2(a) - 3 = 0

Упростим это уравнение:

-4sin^2(a) + 4cos^2(a) = 0

Теперь вынесем 4 за скобки:

4(cos^2(a) - sin^2(a)) = 0

Это уравнение равно нулю, если cos^2(a) - sin^2(a) = 0.

Решим это уравнение:

cos^2(a) = sin^2(a)

Это означает, что:

• cos(a) = sin(a)
• или cos(a) = -sin(a)

Решения для первого случая:

cos(a) = sin(a) <=> a = π/4 + kπ, где k - целое число.

Решения для второго случая:

cos(a) = -sin(a) <=> a = 3π/4 + kπ, где k - целое число.

Таким образом, обобщенное решение уравнения:

• a = π/4 + kπ
• a = 3π/4 + kπ

где k - любое целое число.