Как решить уравнение: sin^3x cosx - sin x cos^3x = 0.25?

Алгебра 11 класс Тригонометрические уравнения решение уравнения алгебра 11 класс sin^3x cosx sin x cos^3x тригонометрические уравнения Новый

Для решения уравнения sin^3(x) cos(x) - sin(x) cos^3(x) = 0.25, давайте начнем с упрощения левой части уравнения.

Обратите внимание, что в левой части уравнения можно выделить общий множитель. Мы видим, что оба слагаемых содержат sin(x) и cos(x). Поэтому мы можем вынести их за скобки:

Шаг 1: Вынесение общего множителя

• sin(x) cos(x) (sin^2(x) - cos^2(x)) = 0.25

Теперь у нас есть произведение двух множителей: sin(x) cos(x) и (sin^2(x) - cos^2(x)).

Шаг 2: Применение тригонометрической идентичности

• Мы можем использовать идентичность sin^2(x) - cos^2(x) = -cos(2x). Таким образом, уравнение можно переписать как:
• sin(x) cos(x) (-cos(2x)) = 0.25

Шаг 3: Упрощение уравнения

• Теперь у нас есть:
• -sin(x) cos(x) cos(2x) = 0.25

Шаг 4: Переход к более простым уравнениям

• Мы можем выразить sin(x) cos(x) через синус двойного угла: sin(x) cos(x) = 0.5 sin(2x).
• Подставим это в уравнение:
• -0.5 sin(2x) cos(2x) = 0.25.

Шаг 5: Упрощение уравнения до более простой формы

• Умножим обе стороны на -2:
• sin(2x) cos(2x) = -0.5.

Теперь мы можем использовать идентичность sin(2x) cos(2x) = 0.5 sin(4x):

• 0.5 sin(4x) = -0.5.

Шаг 6: Упрощение и решение

• Умножим обе стороны на 2:
• sin(4x) = -1.

Шаг 7: Находим значения x

• Синус равен -1 при углах:
• 4x = 3π/2 + 2kπ, где k - целое число.
• Теперь делим на 4:
• x = (3π/8) + (kπ/2).

Таким образом, общее решение уравнения:

x = (3π/8) + (kπ/2), где k - целое число.