Как решить уравнение sin(x) - cos(x) = 0 и определить количество корней, которые находятся на отрезке [-π; 2π]?

 

Пожалуйста, помогите, буду благодарен :)

Алгебра 11 класс Тригонометрические уравнения решить уравнение sin(x) - cos(x) = 0 количество корней отрезок [-π; 2π] алгебра 11 класс Новый

Чтобы решить уравнение sin(x) - cos(x) = 0, начнем с его преобразования.

1. Переносим cos(x) на правую сторону уравнения:

• sin(x) = cos(x)

2. Теперь мы можем разделить обе стороны на cos(x), при условии, что cos(x) ≠ 0:

• tan(x) = 1

3. Уравнение tan(x) = 1 имеет множество решений, и мы можем использовать основное решение:

• x = π/4 + kπ, где k - целое число.

Теперь найдем все корни на отрезке [-π; 2π].

4. Подставляем различные значения k:

• Для k = -1: x = π/4 - π = π/4 - 4π/4 = -3π/4
• Для k = 0: x = π/4
• Для k = 1: x = π/4 + π = π/4 + 4π/4 = 5π/4
• Для k = 2: x = π/4 + 2π = π/4 + 8π/4 = 9π/4 (это значение больше 2π, его не учитываем)

Таким образом, корни уравнения на отрезке [-π; 2π]:

• x = -3π/4
• x = π/4
• x = 5π/4

5. Теперь определим количество корней:

• Корень x = -3π/4 находится на отрезке [-π; 2π].
• Корень x = π/4 также находится на этом отрезке.
• Корень x = 5π/4 тоже находится на отрезке [-π; 2π].

Таким образом, на отрезке [-π; 2π] у нас есть 3 корня.

Ответ: количество корней уравнения sin(x) - cos(x) = 0 на отрезке [-π; 2π] равно 3.