Как решить уравнение
sin3x + cos3x=(корень из 2)sin x?

Алгебра 11 класс Тригонометрические уравнения решение уравнения алгебра sin3x cos3x корень из 2 sin x тригонометрические функции уравнения с синусом уравнения с косинусом Новый

Для решения уравнения sin(3x) + cos(3x) = (корень из 2)sin(x) мы будем использовать некоторые тригонометрические преобразования и свойства тригонометрических функций.

Шаг 1: Преобразуем левую часть уравнения.

Можно использовать формулу для суммы синуса и косинуса:

• sin(a) + cos(a) = sqrt(2) * sin(a + π/4)

Таким образом, мы можем записать:

sin(3x) + cos(3x) = sqrt(2) * sin(3x + π/4)

Теперь уравнение примет вид:

sqrt(2) * sin(3x + π/4) = (корень из 2)sin(x)

Шаг 2: Упростим уравнение, разделив обе стороны на sqrt(2):

sin(3x + π/4) = sin(x)

Шаг 3: Теперь у нас есть уравнение с синусами. Мы знаем, что если sin(A) = sin(B), то:

• A = B + 2kπ, где k - целое число
• A = π - B + 2kπ

Применим это к нашему уравнению:

• 3x + π/4 = x + 2kπ
• 3x + π/4 = π - x + 2kπ

Шаг 4: Решим первое уравнение:

3x + π/4 = x + 2kπ

Переносим x влево:

3x - x = 2kπ - π/4

Упрощаем:

2x = 2kπ - π/4

Делим обе стороны на 2:

x = kπ - π/8

Шаг 5: Теперь решим второе уравнение:

3x + π/4 = π - x + 2kπ

Переносим x влево:

3x + x = π - π/4 + 2kπ

Упрощаем:

4x = π - π/4 + 2kπ

Объединяем дроби:

4x = (4π/4 - π/4) + 2kπ 4x = (3π/4) + 2kπ

Делим обе стороны на 4:

x = (3π/16) + (kπ/2)

Шаг 6: Теперь у нас есть два выражения для x:

• x = kπ - π/8
• x = (3π/16) + (kπ/2)

Это и есть общее решение данного уравнения. Мы можем подставить различные значения k, чтобы получить конкретные решения в зависимости от необходимого диапазона значений x.