Как решить уравнение Sinx cos5x - sin9x cos3x = 0?

Алгебра 11 класс Тригонометрические уравнения решение уравнения алгебра Sinx cos5x sin9x cos3x математические задачи тригонометрические функции нули функции уравнения с синусом и косинусом Новый

Для решения уравнения Sinx cos5x - sin9x cos3x = 0 мы можем воспользоваться тригонометрическими тождествами и свойствами синуса и косинуса.

Давайте сначала упростим уравнение:

1. Перепишем уравнение в более удобной форме:

Sinx cos5x = sin9x cos3x

2. Теперь применим формулу произведения синуса и косинуса:

sin A cos B = 1/2 [sin(A + B) + sin(A - B)]

Таким образом, у нас есть:

• Sinx cos5x = 1/2 [sin(x + 5x) + sin(x - 5x)] = 1/2 [sin(6x) + sin(-4x)] = 1/2 [sin(6x) - sin(4x]
• sin9x cos3x = 1/2 [sin(9x + 3x) + sin(9x - 3x)] = 1/2 [sin(12x) + sin(6x)]
3. Теперь подставим эти выражения в уравнение:

1/2 [sin(6x) - sin(4x)] = 1/2 [sin(12x) + sin(6x)]

4. Упростим уравнение, умножив обе стороны на 2:

sin(6x) - sin(4x) = sin(12x) + sin(6x)

5. Переносим все слагаемые в одну сторону:

sin(6x) - sin(6x) - sin(4x) - sin(12x) = 0

- sin(4x) - sin(12x) = 0

sin(4x) + sin(12x) = 0

6. Теперь мы можем использовать свойство, что сумма синусов равна нулю:

sin(4x) = -sin(12x)

Это означает, что:

• 4x = 12x + k * 180°, где k - целое число (из-за периодичности синуса)
• или 4x = 180° - 12x + k * 360°

Теперь решим каждое из этих уравнений:

1. Решаем первое:

4x - 12x = k * 180°

-8x = k * 180°

x = -k * 180° / 8

x = -k * 22.5°

2. Решаем второе:

4x + 12x = 180° + k * 360°

16x = 180° + k * 360°

x = (180° + k * 360°) / 16

x = 11.25° + k * 22.5°

Таким образом, мы нашли два семейства решений:

• x = -k * 22.5°
• x = 11.25° + k * 22.5°

где k - целое число. Это и есть общее решение уравнения.