Как решить уравнение Sinx cos5x - sin9x cos3x = 0?

Алгебра 11 класс Тригонометрические уравнения решение уравнения алгебра тригонометрические функции sinx cos5x sin9x cos3x математический анализ уравнения с синусом уравнения с косинусом Новый

Для решения уравнения Sinx cos5x - sin9x cos3x = 0 мы можем воспользоваться тригонометрическими тождествами и свойствами синуса и косинуса.

Первым шагом преобразуем уравнение, используя формулу для разности синусов:

• Sin A cos B - Sin B cos A = Sin(A - B)

В нашем случае A = x и B = 5x для первого слагаемого, а для второго слагаемого A = 9x и B = 3x. Таким образом, мы можем записать:

• Sinx cos5x - sin9x cos3x = Sin(x - 5x) - Sin(9x - 3x)

Это упрощается до:

• Sin(-4x) - Sin(6x) = 0

Используя свойство, что Sin(-A) = -Sin(A), мы можем переписать уравнение:

• -Sin(4x) - Sin(6x) = 0

Теперь у нас есть:

• Sin(4x) + Sin(6x) = 0

Мы можем применить еще одно тригонометрическое тождество для суммы синусов:

• Sin A + Sin B = 2 Sin((A + B)/2) Cos((A - B)/2)

В нашем случае A = 4x и B = 6x:

• 2 Sin((4x + 6x)/2) Cos((4x - 6x)/2) = 0

Упрощая, мы получаем:

• 2 Sin(5x) Cos(-x) = 0

Поскольку Cos(-x) = Cos(x), у нас остается:

• 2 Sin(5x) Cos(x) = 0

Теперь у нас есть произведение, равное нулю. Это означает, что хотя бы один из множителей должен быть равен нулю:

• Sin(5x) = 0
• Cos(x) = 0

Решим каждое из этих уравнений:

1. Sin(5x) = 0:
• 5x = nπ, где n - целое число.
• Следовательно, x = nπ/5.
2. Cos(x) = 0:
• x = (2m + 1)π/2, где m - целое число.

Таким образом, общее решение уравнения Sinx cos5x - sin9x cos3x = 0 можно записать в виде:

• x = nπ/5, где n - целое число;
• x = (2m + 1)π/2, где m - целое число.