Как решить уравнение sinx + sin5x = 0? Я забыла, как это делать.

Алгебра 11 класс Тригонометрические уравнения решение уравнения алгебра 11 класс sinx sin5x тригонометрические уравнения методы решения уравнений алгебраические методы Новый

Чтобы решить уравнение sin(x) + sin(5x) = 0, давайте начнем с того, что мы можем выразить одно из синусов через другое. Мы можем записать уравнение следующим образом:

sin(5x) = -sin(x)

Теперь воспользуемся формулой суммы синусов:

sin(A) + sin(B) = 2sin((A+B)/2)cos((A-B)/2)

В нашем случае, мы можем использовать эту формулу для преобразования уравнения. Однако, вместо того чтобы применять формулу, давайте сразу разложим sin(5x) через sin(x).

Мы знаем, что:

sin(5x) = 16sin^5(x) - 20sin^3(x) + 5sin(x)

Теперь подставим это в уравнение:

sin(x) + (16sin^5(x) - 20sin^3(x) + 5sin(x)) = 0

Соберем все члены в одном уравнении:

16sin^5(x) - 20sin^3(x) + 6sin(x) = 0

Теперь вынесем sin(x) за скобки:

sin(x)(16sin^4(x) - 20sin^2(x) + 6) = 0

Таким образом, у нас есть два множителя:

1. sin(x) = 0
2. 16sin^4(x) - 20sin^2(x) + 6 = 0

Теперь решим первое уравнение:

sin(x) = 0

Синус равен нулю, когда:

• x = kπ, где k - целое число.

Теперь перейдем ко второму уравнению:

16sin^4(x) - 20sin^2(x) + 6 = 0

Обозначим y = sin^2(x). Тогда уравнение примет вид:

16y^2 - 20y + 6 = 0

Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

D = b^2 - 4ac = (-20)^2 - 4 * 16 * 6

D = 400 - 384 = 16

Теперь находим корни:

y1,2 = (20 ± √16) / (2 * 16)

y1 = (20 + 4) / 32 = 24 / 32 = 3/4

y2 = (20 - 4) / 32 = 16 / 32 = 1/2

Теперь вернемся к sin^2(x):

sin^2(x) = 3/4 и sin^2(x) = 1/2

Из первого уравнения:

• sin(x) = ±√(3/4) = ±√3/2

Из второго уравнения:

• sin(x) = ±√(1/2) = ±√2/2

Теперь найдём значения x для каждого случая:

1. sin(x) = √3/2: x = π/3 + 2kπ и x = 2π/3 + 2kπ

2. sin(x) = -√3/2: x = 4π/3 + 2kπ и x = 5π/3 + 2kπ

3. sin(x) = √2/2: x = π/4 + 2kπ и x = 3π/4 + 2kπ

4. sin(x) = -√2/2: x = 5π/4 + 2kπ и x = 7π/4 + 2kπ

Теперь у нас есть все возможные решения уравнения sin(x) + sin(5x) = 0. Не забывайте, что k - любое целое число.