Чтобы решить уравнение tg^2(x) + ctg^2(x) + 3(tgx + ctgx) + 4 = 0, начнем с того, что вспомним, что ctg(x) = 1/tg(x). Таким образом, мы можем выразить ctg^2(x) через tg^2(x):

• ctg^2(x) = 1/tg^2(x)

Теперь подставим это в уравнение:

tg^2(x) + 1/tg^2(x) + 3(tg(x) + 1/tg(x)) + 4 = 0

Далее, чтобы упростить уравнение, сделаем замену:

• пусть y = tg(x)

Тогда уравнение принимает следующий вид:

y^2 + 1/y^2 + 3(y + 1/y) + 4 = 0

Умножим все уравнение на y^2, чтобы избавиться от дробей:

y^4 + 1 + 3y^3 + 4y^2 = 0

Теперь упорядочим уравнение:

y^4 + 3y^3 + 4y^2 + 1 = 0

Теперь мы можем попробовать решить это уравнение различными методами, например, методом подбора корней или с использованием теоремы Виета.

Попробуем найти корни, подбирая значения для y. Для этого можно использовать графический метод или численные методы, если нет явных корней.

После нахождения корней y1, y2, y3, y4, мы можем вернуться к переменной x:

• Если y = tg(x), то x = arctg(y)

Не забывайте, что тангенс имеет период π, поэтому для каждого найденного корня y мы получим множество решений:

x = arctg(y) + kπ, k ∈ Z

Таким образом, мы получим все решения исходного уравнения. Если у вас есть конкретные корни, которые вы нашли, я могу помочь вам с дальнейшими шагами и проверкой.