Как решить уравнение: tgx - 4sinx = √3?

Алгебра 11 класс Тригонометрические уравнения решение уравнения алгебра 11 класс tgx - 4sinx √3 тригонометрические уравнения Новый

Для решения уравнения tgx - 4sinx = √3, давайте сначала вспомним, что тангенс можно выразить через синус и косинус:

tgx = sinx / cosx

Подставим это в уравнение:

sinx / cosx - 4sinx = √3

Теперь приведем к общему знаменателю:

(sinx - 4sinx * cosx) / cosx = √3

Умножим обе стороны уравнения на cosx (при условии, что cosx ≠ 0):

sinx - 4sinx * cosx = √3 * cosx

Перепишем уравнение:

sinx - √3 * cosx = 4sinx * cosx

Теперь соберем все слагаемые с sinx в одной части:

sinx - 4sinx * cosx - √3 * cosx = 0

Вынесем sinx за скобки:

sinx (1 - 4cosx) - √3 * cosx = 0

Теперь у нас есть произведение, которое равно нулю. Это значит, что одно из множителей должно быть равно нулю:

1. sinx = 0
2. 1 - 4cosx = 0

Решим первое уравнение:

sinx = 0, значит x = nπ, где n - любое целое число.

Решим второе уравнение:

1 - 4cosx = 0, значит 4cosx = 1, отсюда cosx = 1/4.

Теперь найдем значения x, для которых cosx = 1/4. Это уравнение имеет два решения в пределах одного полного оборота (0, 2π):

• x = arccos(1/4) + 2kπ, где k - любое целое число.
• x = -arccos(1/4) + 2kπ, где k - любое целое число.

Таким образом, все решения уравнения tgx - 4sinx = √3 будут:

• x = nπ, где n - любое целое число.
• x = arccos(1/4) + 2kπ, где k - любое целое число.
• x = -arccos(1/4) + 2kπ, где k - любое целое число.