Как решить уравнение (x2 + 4x + 5)2 - 16(x2 + 4x + 5) = 17 и найти целые корни, которые соответствуют условию |x| ≤ 3?

Алгебра 11 класс Уравнения с параметрами решение уравнения уравнение с квадратом целые корни алгебра 11 класс |x| ≤ 3 методы решения уравнений алгебраические уравнения Новый

Чтобы решить уравнение (x² + 4x + 5)² - 16(x² + 4x + 5) = 17, начнем с упрощения его. Обозначим y = x² + 4x + 5. Тогда уравнение можно переписать в следующем виде:

1. Замена переменной:

y² - 16y = 17

Теперь у нас есть квадратное уравнение относительно y. Переносим все в одну сторону:

y² - 16y - 17 = 0

2. Решение квадратного уравнения:

Чтобы решить это уравнение, используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения:

y = (-b ± √(b² - 4ac)) / 2a

Где a = 1, b = -16, c = -17. Подставим значения:

Дискриминант D = b² - 4ac = (-16)² - 4 * 1 * (-17) = 256 + 68 = 324

Теперь находим корни:

• y₁ = (16 + √324) / 2 = (16 + 18) / 2 = 34 / 2 = 17
• y₂ = (16 - √324) / 2 = (16 - 18) / 2 = -2 / 2 = -1

Теперь у нас есть два значения для y: y₁ = 17 и y₂ = -1.

3. Возвращаемся к x:

Теперь мы можем найти x, подставив полученные значения y обратно в уравнение y = x² + 4x + 5.

Для y₁ = 17:

x² + 4x + 5 = 17

x² + 4x - 12 = 0

Решаем это квадратное уравнение:

D = 4² - 4 * 1 * (-12) = 16 + 48 = 64

• x₁ = (-4 + √64) / 2 = (-4 + 8) / 2 = 4 / 2 = 2
• x₂ = (-4 - √64) / 2 = (-4 - 8) / 2 = -12 / 2 = -6

Теперь для y₂ = -1:

x² + 4x + 5 = -1

x² + 4x + 6 = 0

Решаем это уравнение:

D = 4² - 4 * 1 * 6 = 16 - 24 = -8

Дискриминант отрицательный, значит, корней нет.

4. Итоговые корни:

Итак, у нас есть два корня из первого уравнения: x₁ = 2 и x₂ = -6. Теперь проверим, какие из них соответствуют условию |x| ≤ 3.

• |2| = 2 ≤ 3 (приемлемый корень)
• |-6| = 6 > 3 (неприемлемый корень)

Ответ: Целый корень, который соответствует условию |x| ≤ 3, это x = 2.