Как решить уравнения с заменой переменной? Не нужно упрощать, просто решить.

1. sin x - cos² x = sin² x
2. 6sin² x + sin x - 1 = 0
3. cos² x - 4sin x + 3 = 0
4. √3 sin² x - 3sin x * cos x = 0
5. 2sin² x - √3sin 2x = 0

Алгебра 11 класс Тригонометрические уравнения уравнения с заменой переменной алгебра 11 класс решение уравнений тригонометрические уравнения sin cos уравнения алгебраические методы математические задачи Новый

Для решения уравнений с заменой переменной, мы можем использовать тригонометрические тождества и подставлять удобные переменные. Давайте рассмотрим каждое уравнение по отдельности.

1. Уравнение: sin x - cos² x = sin² x

Сначала преобразуем уравнение, используя тождество cos² x = 1 - sin² x:

• sin x - (1 - sin² x) = sin² x
• sin x - 1 + sin² x = sin² x
• sin x - 1 = 0
• sin x = 1

Таким образом, x = π/2 + 2kπ, где k - целое число.

2. Уравнение: 6sin² x + sin x - 1 = 0

Это квадратное уравнение относительно sin x. Обозначим sin x = t:

• 6t² + t - 1 = 0

Теперь применим формулу для решения квадратного уравнения:

• t = (-b ± √(b² - 4ac)) / 2a, где a = 6, b = 1, c = -1.
• t = (-1 ± √(1 + 24)) / 12 = (-1 ± 5) / 12.

Таким образом, t1 = 1/3 и t2 = -1/2. Поскольку sin x не может быть отрицательным, рассматриваем только t1:

• sin x = 1/3.

Следовательно, x = arcsin(1/3) + 2kπ или x = π - arcsin(1/3) + 2kπ.

3. Уравнение: cos² x - 4sin x + 3 = 0

Используем t = sin x, тогда cos² x = 1 - t²:

• 1 - t² - 4t + 3 = 0
• -t² - 4t + 4 = 0
• t² + 4t - 4 = 0.

Решаем квадратное уравнение:

• t = (-4 ± √(16 + 16)) / 2 = (-4 ± 4√2) / 2 = -2 ± 2√2.

Поскольку -2 - 2√2 < -1, это значение не подходит. Рассматриваем только t = -2 + 2√2, что соответствует sin x. Находим x через arcsin.

4. Уравнение: √3 sin² x - 3sin x * cos x = 0

Факторизуем уравнение:

• sin x (√3 sin x - 3 cos x) = 0.

Решения:

• sin x = 0, x = kπ.
• √3 sin x = 3 cos x, tan x = √3/3, x = π/6 + kπ.

5. Уравнение: 2sin² x - √3sin 2x = 0

Используем t = sin x и sin 2x = 2sin x cos x:

• 2t² - √3(2t√(1-t²)) = 0.

Факторизуем:

• t(2t - √3(2√(1-t²))) = 0.

Решения:

• t = 0, x = kπ.
• 2t - 2√3√(1-t²) = 0, t = √3/2, x = π/3 + 2kπ или x = 2π/3 + 2kπ.

Таким образом, мы рассмотрели все уравнения и нашли решения для каждого из них. Если есть какие-то вопросы или нужно больше объяснений, не стесняйтесь спрашивать!