Как решить выражение (1+i)(2+i)+5/(1+2i)? Пожалуйста, объясните подробно, так как я плохо понял эту тему. Заранее спасибо!

Алгебра 11 класс Комплексные числа решение выражения алгебра 11 класс комплексные числа математические операции объяснение алгебры Новый

Давайте решим данное выражение шаг за шагом. Мы имеем выражение:

(1+i)(2+i) + 5/(1+2i)

Сначала разберемся с первой частью: (1+i)(2+i).

1. Для умножения двух комплексных чисел используем распределительное свойство (формула (a+b)(c+d) = ac + ad + bc + bd).
2. В нашем случае a = 1, b = i, c = 2, d = i. Теперь подставим:
3. 1 * 2 + 1 * i + i * 2 + i * i = 2 + i + 2i + i^2.
4. Так как i^2 = -1, мы заменяем i^2 на -1:
5. Получаем: 2 + i + 2i - 1 = 2 - 1 + 3i = 1 + 3i.

Теперь у нас есть результат первой части: 1 + 3i.

Теперь перейдем ко второй части: 5/(1+2i).

1. Чтобы разделить на комплексное число, умножим числитель и знаменатель на сопряженное к знаменателю число. Сопряженное к (1 + 2i) будет (1 - 2i).
2. Умножим числитель и знаменатель:
3. Числитель: 5 * (1 - 2i) = 5 - 10i.
4. Знаменатель: (1 + 2i)(1 - 2i) = 1^2 - (2i)^2 = 1 - 4(-1) = 1 + 4 = 5.
5. Теперь у нас есть дробь: (5 - 10i) / 5.
6. Разделим каждую часть на 5: 1 - 2i.

Теперь у нас есть результат второй части: 1 - 2i.

Теперь объединим оба результата:

(1 + 3i) + (1 - 2i).

1. Сложим действительные части: 1 + 1 = 2.
2. Сложим мнимые части: 3i - 2i = 1i.

Таким образом, итоговый результат:

2 + i.

Итак, мы получили, что (1+i)(2+i) + 5/(1+2i) = 2 + i.