Давайте решим данное выражение шаг за шагом. Мы имеем выражение:

(1+i)(2+i) + 5/(1+2i)

Сначала разберемся с первой частью: (1+i)(2+i).

1. Для умножения двух комплексных чисел используем распределительное свойство (формула (a+b)(c+d) = ac + ad + bc + bd).
2. В нашем случае a = 1, b = i, c = 2, d = i. Теперь подставим:
3. 1 * 2 + 1 * i + i * 2 + i * i = 2 + i + 2i + i^2.
4. Так как i^2 = -1, мы заменяем i^2 на -1:
5. Получаем: 2 + i + 2i - 1 = 2 - 1 + 3i = 1 + 3i.

Теперь у нас есть результат первой части: 1 + 3i.

Теперь перейдем ко второй части: 5/(1+2i).

1. Чтобы разделить на комплексное число, умножим числитель и знаменатель на сопряженное к знаменателю число. Сопряженное к (1 + 2i) будет (1 - 2i).
2. Умножим числитель и знаменатель:
3. Числитель: 5 * (1 - 2i) = 5 - 10i.
4. Знаменатель: (1 + 2i)(1 - 2i) = 1^2 - (2i)^2 = 1 - 4(-1) = 1 + 4 = 5.
5. Теперь у нас есть дробь: (5 - 10i) / 5.
6. Разделим каждую часть на 5: 1 - 2i.

Теперь у нас есть результат второй части: 1 - 2i.

Теперь объединим оба результата:

(1 + 3i) + (1 - 2i).

1. Сложим действительные части: 1 + 1 = 2.
2. Сложим мнимые части: 3i - 2i = 1i.

Таким образом, итоговый результат:

2 + i.

Итак, мы получили, что (1+i)(2+i) + 5/(1+2i) = 2 + i.