Чтобы совместить выражение sin^2(2x) - 4sin^2(x) с (cos(2x) + 1)^2, начнем с упрощения каждого из этих выражений.

1. Рассмотрим первое выражение sin^2(2x) - 4sin^2(x).

• Мы знаем, что sin(2x) = 2sin(x)cos(x). Поэтому sin^2(2x) = (2sin(x)cos(x))^2 = 4sin^2(x)cos^2(x).
• Теперь подставим это в выражение: sin^2(2x) - 4sin^2(x) = 4sin^2(x)cos^2(x) - 4sin^2(x).
• Вынесем 4sin^2(x) за скобки: 4sin^2(x)(cos^2(x) - 1).
• Используя тригонометрическую идентичность cos^2(x) - 1 = -sin^2(x), получаем: 4sin^2(x)(-sin^2(x)) = -4sin^4(x).

Таким образом, sin^2(2x) - 4sin^2(x) = -4sin^4(x).

2. Теперь рассмотрим второе выражение (cos(2x) + 1)^2.

• Используем формулу для cos(2x): cos(2x) = cos^2(x) - sin^2(x).
• Тогда cos(2x) + 1 = cos^2(x) - sin^2(x) + 1 = cos^2(x) - sin^2(x) + sin^2(x) + cos^2(x) = 2cos^2(x).
• Теперь возведем в квадрат: (cos(2x) + 1)^2 = (2cos^2(x))^2 = 4cos^4(x).

Таким образом, (cos(2x) + 1)^2 = 4cos^4(x).

3. Теперь мы можем записать дробь:

frac{sin^2(2x) - 4sin^2(x)}{(cos(2x) + 1)^2} = frac{-4sin^4(x)}{4cos^4(x)}.

4. Упростим дробь, сократив на 4:

frac{-4sin^4(x)}{4cos^4(x)} = frac{-sin^4(x)}{cos^4(x)} = -tan^4(x).

Таким образом, итоговое выражение после упрощения будет:

-tan^4(x).