Как создать график функции y=-|x^2+9x| и выяснить, при каких значениях параметра a прямая y=a пересекает график в трех или более точках?

Алгебра 11 класс Графики функций и их пересечения график функции y=-|x^2+9x| пересечение прямой y=a значения параметра a алгебра 11 класс Новый

Чтобы создать график функции y = -|x^2 + 9x|, сначала нужно понять, как выглядит функция внутри модуля. Мы начнем с анализа выражения x^2 + 9x.

Шаг 1: Найдем корни уравнения x^2 + 9x = 0.

• Факторизуем: x(x + 9) = 0.
• Корни: x = 0 и x = -9.

Таким образом, функция x^2 + 9x меняет знак в точках x = -9 и x = 0. Теперь мы можем определить, где это выражение положительно, а где отрицательно.

Шаг 2: Определим знак выражения x^2 + 9x на интервалах.

• На интервале (-∞, -9): x^2 + 9x > 0.
• На интервале (-9, 0): x^2 + 9x < 0.
• На интервале (0, +∞): x^2 + 9x > 0.

Следовательно, функция y = -|x^2 + 9x| будет выглядеть следующим образом:

• На интервале (-∞, -9): y = -(x^2 + 9x).
• На интервале (-9, 0): y = |x^2 + 9x| = -(x^2 + 9x) (так как x^2 + 9x < 0).
• На интервале (0, +∞): y = -(x^2 + 9x).

Теперь мы можем нарисовать график функции y = -|x^2 + 9x|.

Шаг 3: Найдем, при каких значениях a прямая y = a пересекает график в трех или более точках.

График функции y = -|x^2 + 9x| имеет форму "вогнутой" параболы, направленной вниз. Для того чтобы прямая y = a пересекала график в трех или более точках, необходимо, чтобы значение a находилось между максимальным значением функции и минимальным значением, которое достигается в корнях функции.

Шаг 4: Найдем максимальное значение функции.

• Максимум функции y = -|x^2 + 9x| достигается в вершине параболы.
• Вершина параболы x^2 + 9x находится по формуле x = -b/(2a) = -9/2.
• Подставляем x = -9/2 в выражение x^2 + 9x:
• y = -|(-9/2)^2 + 9*(-9/2)| = -|(-81/4) + (-81/2)| = -|(-81/4) + (-162/4)| = -|(-243/4)| = 243/4.

Таким образом, максимальное значение функции y = -|x^2 + 9x| равно 243/4.

Шаг 5: Условия пересечения.

Прямая y = a будет пересекаться с графиком функции в трех или более точках, если:

• a < 0 (так как функция принимает отрицательные значения на интервале (-9, 0)) и
• a > -243/4 (так как максимальное значение функции равно 243/4).

Таким образом, прямая y = a будет пересекать график функции y = -|x^2 + 9x| в трех или более точках, если:

a < 0 и a > -243/4.