Как упростить следующее выражение: sin(arccos(x)) и какую область определения необходимо указать?

Алгебра 11 класс Тригонометрические функции и их обратные Упрощение выражения sin(arccos(x)) область определения алгебра 11 класс тригонометрические функции арккосинус математика алгебра задачи по алгебре Новый

Чтобы упростить выражение sin(arccos(x)), давайте разберем его шаг за шагом.

1. Понимание arccos(x): - Функция arccos(x) возвращает угол, значение косинуса которого равно x. - Угол θ = arccos(x) лежит в диапазоне от 0 до π (0 ≤ θ ≤ π).

2. Использование тригонометрической идентичности: - Мы знаем, что для любого угла θ выполняется следующее тригонометрическое соотношение: sin²(θ) + cos²(θ) = 1. - Из этого соотношения мы можем выразить sin(θ) через cos(θ): sin(θ) = √(1 - cos²(θ)).

3. Подстановка значения cos(θ): - Поскольку мы знаем, что cos(θ) = x (где θ = arccos(x)), мы можем подставить это в наше уравнение: sin(arccos(x)) = √(1 - x²).

Таким образом, мы упростили выражение:

sin(arccos(x)) = √(1 - x²).

Теперь давайте определим область определения для этого выражения:

• Функция arccos(x) определена для -1 ≤ x ≤ 1.
• Поскольку под корнем у нас выражение 1 - x², чтобы избежать отрицательных значений, нам также необходимо, чтобы 1 - x² ≥ 0, что выполняется при -1 ≤ x ≤ 1.

Таким образом, область определения для выражения sin(arccos(x)) совпадает с областью определения функции arccos(x): -1 ≤ x ≤ 1.