Как упростить выражение sin²a(1+ctg²a) и (1+tg²a+1/sin²a)sin²acos²a, а также найти значение 1+tg²a/1+ctg²a-tg²a?

Алгебра 11 класс Тригонометрические преобразования упрощение выражений алгебра 11 класс Тригонометрия sin2a tg²a ctg2a математические преобразования нахождение значений

Давайте упростим оба выражения по шагам.

1. Упрощение выражения sin²a(1+ctg²a):

Мы знаем, что:

• ctg²a = cos²a/sin²a

Теперь подставим это значение в выражение:

• sin²a(1 + ctg²a) = sin²a(1 + cos²a/sin²a)

Объединим дроби внутри скобок:

• 1 + cos²a/sin²a = sin²a/sin²a + cos²a/sin²a = (sin²a + cos²a)/sin²a

Так как по основному тригонометрическому тождеству sin²a + cos²a = 1, то:

• (sin²a + cos²a)/sin²a = 1/sin²a

Теперь подставим это обратно в выражение:

• sin²a(1 + ctg²a) = sin²a * (1/sin²a) = 1

Таким образом, первое выражение упрощается до:

1. Ответ: 1

2. Упрощение выражения (1+tg²a+1/sin²a)sin²acos²a:

Сначала заменим tg²a на sin²a/cos²a:

• (1 + tg²a + 1/sin²a) = (1 + sin²a/cos²a + 1/sin²a)

Теперь объединим все эти выражения:

• 1 + sin²a/cos²a + 1/sin²a = (sin²a * cos²a + sin²a + cos²a)/(sin²a * cos²a)

Теперь можем подставить это в основное выражение:

• (1 + tg²a + 1/sin²a)sin²acos²a = ((sin²a * cos²a + sin²a + cos²a)/(sin²a * cos²a)) * sin²a * cos²a

После упрощения получаем:

• (sin²a * cos²a + sin²a + cos²a)

Таким образом, второе выражение упрощается до:

2. Ответ: sin²a * cos²a + sin²a + cos²a

3. Найти значение (1 + tg²a)/(1 + ctg²a) - tg²a:

Сначала заменим tg²a и ctg²a:

• tg²a = sin²a/cos²a
• ctg²a = cos²a/sin²a

Теперь подставим эти значения в выражение:

• (1 + sin²a/cos²a)/(1 + cos²a/sin²a) - sin²a/cos²a

Объединим дроби:

• (sin²a + cos²a)/(sin²a + cos²a) - sin²a/cos²a

Так как sin²a + cos²a = 1, то мы имеем:

• 1 - sin²a/cos²a = (cos²a - sin²a)/cos²a

Таким образом, третье выражение упрощается до:

3. Ответ: (cos²a - sin²a)/cos²a

Надеюсь, это помогло вам понять, как упрощать тригонометрические выражения!

Давайте разберем оба выражения и найдем их упрощенные формы, а также вычислим значение третьего выражения.

1. Упрощение выражения sin²a(1+ctg²a)

Начнем с первого выражения:

• Мы знаем, что cotg²a = 1/tg²a = cos²a/sin²a.
• Следовательно, 1 + cotg²a = 1 + cos²a/sin²a = sin²a/sin²a + cos²a/sin²a = (sin²a + cos²a)/sin²a.
• Так как sin²a + cos²a = 1, то 1 + cotg²a = 1/sin²a.

Теперь подставим это в исходное выражение:

• sin²a(1 + cotg²a) = sin²a * (1/sin²a) = 1.

Таким образом, первое выражение упрощается до:

Ответ: 1

2. Упрощение выражения (1 + tg²a + 1/sin²a)sin²a*cos²a

Теперь перейдем ко второму выражению:

• Мы знаем, что tg²a = sin²a/cos²a.
• Таким образом, 1 + tg²a = 1 + sin²a/cos²a = (cos²a + sin²a)/cos²a = 1/cos²a.

Теперь подставим это в выражение:

• 1 + tg²a + 1/sin²a = 1/cos²a + 1/sin²a.
• Теперь найдем общий знаменатель: (sin²a + cos²a)/(sin²a * cos²a) = 1/(sin²a * cos²a).

Следовательно, мы имеем:

• (1 + tg²a + 1/sin²a) = 1/(sin²a * cos²a).

Теперь подставим это в исходное выражение:

• (1/(sin²a * cos²a)) * sin²a * cos²a = 1.

Таким образом, второе выражение также упрощается до:

Ответ: 1

3. Нахождение значения 1 + tg²a / 1 + ctg²a - tg²a

Теперь найдем значение третьего выражения:

• Сначала преобразуем tg²a и ctg²a:
• tg²a = sin²a/cos²a и ctg²a = cos²a/sin²a.

Подставим это в выражение:

• 1 + tg²a = 1 + sin²a/cos²a = (cos²a + sin²a)/cos²a = 1/cos²a.
• 1 + ctg²a = 1 + cos²a/sin²a = (sin²a + cos²a)/sin²a = 1/sin²a.

Теперь подставим все это в выражение:

• (1/cos²a) / (1/sin²a) - tg²a = (sin²a/cos²a) - (sin²a/cos²a) = 0.

Таким образом, значение третьего выражения равно:

Ответ: 0

В итоге мы получили:

• Первое выражение: 1
• Второе выражение: 1
• Третье выражение: 0