Как упростить выражение tg(x - П/4) - tg(x + П/4)?

Алгебра 11 класс Упрощение тригонометрических выражений Упрощение выражения алгебра 11 класс tg(x - П/4) tg(x + П/4) тригонометрические функции Новый

Чтобы упростить выражение tg(x - П/4) - tg(x + П/4), мы можем воспользоваться формулами для тангенса разности и суммы углов. Давайте рассмотрим шаги, которые помогут нам упростить данное выражение.

1. Используем формулы тангенса:
   • tg(a - b) = (tg(a) - tg(b)) / (1 + tg(a) * tg(b))
   • tg(a + b) = (tg(a) + tg(b)) / (1 - tg(a) * tg(b))
2. Подставляем значения:
   • В нашем случае a = x, b = П/4.
   • tg(П/4) = 1, так как тангенс 45 градусов равен 1.
3. Упрощаем tg(x - П/4):
   • tg(x - П/4) = (tg(x) - 1) / (1 + tg(x) * 1) = (tg(x) - 1) / (1 + tg(x)).
4. Упрощаем tg(x + П/4):
   • tg(x + П/4) = (tg(x) + 1) / (1 - tg(x) * 1) = (tg(x) + 1) / (1 - tg(x)).
5. Теперь подставляем эти выражения в исходное:
   • tg(x - П/4) - tg(x + П/4) = [(tg(x) - 1) / (1 + tg(x))] - [(tg(x) + 1) / (1 - tg(x))].
6. Приводим к общему знаменателю:
   • Общий знаменатель будет (1 + tg(x))(1 - tg(x)).
   • Переписываем выражение:
     • [(tg(x) - 1)(1 - tg(x)) - (tg(x) + 1)(1 + tg(x))] / [(1 + tg(x))(1 - tg(x))].
7. Упрощаем числитель:
   • Раскрываем скобки:
   • (tg(x) - 1)(1 - tg(x)) = tg(x) - tg^2(x) - 1 + tg(x) = 2tg(x) - tg^2(x) - 1.
   • (tg(x) + 1)(1 + tg(x)) = tg(x) + tg^2(x) + 1 + tg(x) = 2tg(x) + tg^2(x) + 1.
8. Теперь подставляем обратно:
   • Числитель будет: 2tg(x) - tg^2(x) - 1 - (2tg(x) + tg^2(x) + 1).
   • Упрощаем: -2tg^2(x) - 2.
9. Итак, итоговое выражение:
   • tg(x - П/4) - tg(x + П/4) = [-2(tg^2(x) + 1)] / [(1 + tg(x))(1 - tg(x))].

Таким образом, мы упростили данное выражение, и теперь оно выглядит как:

tg(x - П/4) - tg(x + П/4) = -2(tg^2(x) + 1) / [(1 + tg(x))(1 - tg(x))].