Похожие вопросы
2026-03-09 14:43:06
Как упростить выражение tgx + ctg x / (tgx + 1)(ctg x + 1)?
Алгебра 11 класс Упрощение тригонометрических выражений
2026-03-16 16:27:03
Нужно упростить выражение (tg x + ctg x) / ((tg x + 1)(ctg x + 1)). Сделаем это пошагово.
- Введём обозначение t = tg x. Тогда ctg x = 1/t (при t ≠ 0).
- Запишем числитель и знаменатель через t:
- числитель: t + 1/t = (t^2 + 1)/t;
- знаменатель: (t + 1)(1/t + 1) = (t + 1)((t + 1)/t) = (t + 1)^2 / t.
- Делим числитель на знаменатель:
- ((t^2 + 1)/t) : ((t + 1)^2 / t) = (t^2 + 1)/(t + 1)^2.
- Возвращаемся к tg x: итоговое упрощение — (1 + tg^2 x) / (1 + tg x)^2. Можно также записать как sec^2 x / (1 + tg x)^2, так как 1 + tg^2 x = 1/cos^2 x.
Замечание о области определения: исходное выражение определено при sin x ≠ 0 и cos x ≠ 0 (чтобы tg x и ctg x были определены) и при (tg x + 1)(ctg x + 1) ≠ 0 (то есть tg x ≠ −1). В этих условиях сокращение корректно.