Как вычислить интеграл: ∫ (√7{x} + 7^x) dx?

Алгебра 11 класс Неопределенный интеграл вычислить интеграл интеграл √7{x} интеграл 7^x интегрирование алгебра алгебра 11 класс методы интегрирования Новый

Для вычисления интеграла ∫ (√7{x} + 7^x) dx, мы можем разложить его на два отдельных интеграла. Это возможно благодаря свойству линейности интегралов.

Итак, мы можем записать:

∫ (√7{x} + 7^x) dx = ∫ √7{x} dx + ∫ 7^x dx

Теперь давайте рассмотрим каждый из этих интегралов по отдельности.

1. Вычисление интеграла ∫ √7{x} dx:

Здесь √7{x} является произведением постоянной √7 и функции {x}, где {x} обозначает дробную часть числа x. Для вычисления этого интеграла мы можем использовать правило интегрирования для постоянных:

• ∫ k * f(x) dx = k * ∫ f(x) dx, где k - постоянная.

Таким образом, мы можем вынести √7 за знак интеграла:

∫ √7{x} dx = √7 ∫ {x} dx

Интеграл дробной части {x} можно вычислить с помощью известной формулы:

∫ {x} dx = x * {x} - (x^2)/2 + C, где C - константа интегрирования.

Теперь подставим это обратно:

∫ √7{x} dx = √7 (x * {x} - (x^2)/2) + C1, где C1 - константа интегрирования для этого интеграла.

2. Вычисление интеграла ∫ 7^x dx:

Интеграл ∫ 7^x dx можно вычислить, используя стандартную формулу для интегрирования экспоненциальной функции:

• ∫ a^x dx = (a^x) / ln(a) + C, где a > 0.

В нашем случае a = 7, поэтому:

∫ 7^x dx = (7^x) / ln(7) + C2, где C2 - константа интегрирования для этого интеграла.

Теперь объединим результаты:

Таким образом, окончательный ответ будет выглядеть следующим образом:

∫ (√7{x} + 7^x) dx = √7 (x * {x} - (x^2)/2) + (7^x) / ln(7) + C, где C = C1 + C2 - общая константа интегрирования.

Итак, мы нашли интеграл ∫ (√7{x} + 7^x) dx, и его результат включает в себя два основных интеграла с добавлением константы интегрирования.