Как вычислить неопределённый интеграл функции cos^8x по переменной x?

Алгебра 11 класс Неопределённые интегралы вычисление интеграла неопределенный интеграл интеграл функции cos^8x алгебра 11 класс методы интегрирования Новый

Для вычисления неопределённого интеграла функции cos^8(x) по переменной x, мы можем воспользоваться методом, основанным на использовании тригонометрических идентичностей и формул для интегрирования.

Шаг 1: Применение формулы понижения степени

Мы можем использовать формулу понижения степени для косинуса. В частности, мы можем выразить cos^8(x) через cos(2x) с помощью следующей формулы:

cos^2(x) = (1 + cos(2x)) / 2

Тогда:

• cos^4(x) = (cos^2(x))^2 = [(1 + cos(2x)) / 2]^2 = (1 + 2cos(2x) + cos^2(2x)) / 4
• cos^2(2x) = (1 + cos(4x)) / 2

Таким образом, мы можем выразить cos^4(x) как:

cos^4(x) = (1 + 2cos(2x) + (1 + cos(4x)) / 2) / 4

Теперь, используя это, мы можем выразить cos^8(x):

cos^8(x) = (cos^4(x))^2 = [(1 + 2cos(2x) + (1 + cos(4x)) / 2) / 4]^2

Шаг 2: Упрощение выражения

После подстановки и упрощения, мы получим выражение для cos^8(x) через косинусы с удвоенными углами. Это может быть довольно громоздким, поэтому для упрощения мы можем использовать табличные интегралы или программное обеспечение для вычислений.

Шаг 3: Интегрирование

После того как мы выразили cos^8(x) в более удобной форме, мы можем интегрировать каждую из составляющих по отдельности:

• Интеграл от 1 будет равен x.
• Интеграл от cos(2x) будет равен (1/2)sin(2x).
• Интеграл от cos(4x) будет равен (1/4)sin(4x).

Не забывайте добавлять константу интегрирования C в конце.

Шаг 4: Запись окончательного ответа

Таким образом, интеграл от cos^8(x) будет равен:

∫cos^8(x)dx = (1/8)x + (1/16)sin(2x) + (1/32)sin(4x) + C

Где C - произвольная константа интегрирования.

Таким образом, мы успешно вычислили неопределённый интеграл функции cos^8(x) по переменной x.