Как вычислить предел lim ((³√(1+x))-1)/x, когда x стремится к 0? Если возможно, приведите решение. Заранее спасибо!

Алгебра 11 класс Пределы функций предел лимит алгебра вычисление предела ³√(1+x) x стремится к 0 решение предела Новый

Чтобы вычислить предел lim ((³√(1+x))-1)/x при x стремится к 0, мы можем использовать несколько подходов. Один из самых простых способов – это применение формулы для предела, известного как правило Лопиталя, или разложение функции в ряд Тейлора. В данном случае мы воспользуемся первым методом.

Шаг 1: Проверка формы предела

Подставляем x = 0 в выражение:

• ³√(1+0) - 1 = ³√1 - 1 = 0
• Таким образом, получаем форму 0/0, что позволяет нам применить правило Лопиталя.

Шаг 2: Применение правила Лопиталя

Правило Лопиталя гласит, что если мы имеем форму 0/0 или ∞/∞, то можем взять производные числителя и знаменателя:

• Числитель: f(x) = ³√(1+x) - 1
• Знаменатель: g(x) = x

Теперь найдем производные:

• f'(x) = (1/3)(1+x)^(-2/3) * 1 = (1/3)(1+x)^(-2/3)
• g'(x) = 1

Шаг 3: Вычисление предела производных

Теперь мы можем вычислить предел:

lim (f'(x)/g'(x)) = lim (1/3)(1+x)^(-2/3) при x стремится к 0.

Подставляем x = 0:

• lim (1/3)(1+0)^(-2/3) = (1/3)(1)^(-2/3) = 1/3.

Ответ: Предел lim ((³√(1+x))-1)/x при x стремится к 0 равен 1/3.