Как вычислить пределы функции 1) lim при x, стремящемся к 1, x, стремящемуся к -2 и x, стремящемуся к бесконечности для выражения (6x^2 + 11x - 2) / (3x^2 + 7x + 2)?

Алгебра 11 класс Пределы функций пределы функции вычисление пределов алгебра 11 класс предел при x стремящемся к 1 предел при x стремящемся к -2 предел при x стремящемся к бесконечности выражение (6x^2 + 11x - 2) / (3x^2 + 7x + 2) Новый

Чтобы вычислить пределы функции (6x^2 + 11x - 2) / (3x^2 + 7x + 2) при различных значениях x, давайте рассмотрим каждый случай по отдельности.

1. Предел при x, стремящемся к 1:

   Подставим x = 1 в выражение:

   (6 * 1^2 + 11 * 1 - 2) / (3 * 1^2 + 7 * 1 + 2) = (6 + 11 - 2) / (3 + 7 + 2).

   Считаем числитель и знаменатель:

   • Числитель: 6 + 11 - 2 = 15.
   • Знаменатель: 3 + 7 + 2 = 12.

   Таким образом, предел равен:

   lim при x -> 1 = 15 / 12 = 5 / 4.

2. Предел при x, стремящемся к -2:

   Теперь подставим x = -2 в выражение:

   (6 * (-2)^2 + 11 * (-2) - 2) / (3 * (-2)^2 + 7 * (-2) + 2) = (6 * 4 - 22 - 2) / (3 * 4 - 14 + 2).

   Считаем числитель и знаменатель:

   • Числитель: 24 - 22 - 2 = 0.
   • Знаменатель: 12 - 14 + 2 = 0.

   Поскольку и числитель, и знаменатель равны 0, мы имеем неопределенность 0/0. В этом случае нужно применить правило Лопиталя или факторизовать выражение. Для упрощения можно попробовать факторизовать:

   Числитель: 6x^2 + 11x - 2 = (3x - 1)(2x + 2),

   Знаменатель: 3x^2 + 7x + 2 = (3x + 1)(x + 2).

   Теперь можем сократить (x + 2):

   lim при x -> -2 = (3x - 1) / (3x + 1).

   Подставляем x = -2:

   (3 * (-2) - 1) / (3 * (-2) + 1) = (-6 - 1) / (-6 + 1) = -7 / -5 = 7 / 5.

3. Предел при x, стремящемся к бесконечности:

   При x, стремящемся к бесконечности, нас интересуют только старшие степени x в числителе и знаменателе:

   lim при x -> ∞ (6x^2 + 11x - 2) / (3x^2 + 7x + 2).

   Сравниваем старшие члены:

   lim при x -> ∞ (6x^2) / (3x^2) = 6 / 3 = 2.

Таким образом, мы получили следующие пределы:

• lim при x -> 1 = 5 / 4;
• lim при x -> -2 = 7 / 5;
• lim при x -> ∞ = 2.