Как вычислить скалярное произведение векторов 3a-2b и 5a-6b, если даны значения |a|=2, |b|=4 и угол между векторами a и b равен π/3?

Алгебра 11 класс Скалярное произведение векторов скалярное произведение векторы алгебра 11 класс вычисление угол между векторами значения векторов Новый

Чтобы вычислить скалярное произведение векторов 3a - 2b и 5a - 6b, мы можем воспользоваться свойством распределительности скалярного произведения:

Шаг 1: Распишем скалярное произведение

Скалярное произведение двух векторов x и y обозначается как x · y. В нашем случае это будет:

(3a - 2b) · (5a - 6b).

Теперь раскроем скобки:

• (3a) · (5a) + (3a) · (-6b) + (-2b) · (5a) + (-2b) · (-6b).

Это можно записать как:

3a · 5a - 18a · b - 10b · a + 12b · b.

Шаг 2: Упростим выражение

Заметим, что a · b = b · a, поэтому мы можем объединить некоторые термины:

• 15(a · a) - 18(a · b) - 10(a · b) + 12(b · b).

Теперь упростим это:

• 15(a · a) - 28(a · b) + 12(b · b).

Шаг 3: Подставим известные значения

Теперь подставим известные значения для |a| и |b|, а также угол между ними:

• |a| = 2, значит a · a = |a|^2 = 2^2 = 4.
• |b| = 4, значит b · b = |b|^2 = 4^2 = 16.
• Угол между a и b равен π/3, следовательно, a · b = |a| * |b| * cos(π/3) = 2 * 4 * 0.5 = 4.

Теперь подставим все значения в уравнение:

• 15(4) - 28(4) + 12(16).

Шаг 4: Вычислим значение

Теперь произведем вычисления:

• 60 - 112 + 192.

Сложим числа:

• 60 - 112 = -52.
• -52 + 192 = 140.

Ответ: Скалярное произведение векторов 3a - 2b и 5a - 6b равно 140.