Какое значение k можно найти, если скалярное произведение векторов a(2; 1; 2k) и b(4; 2; k+5) равно 2?

Алгебра 11 класс Скалярное произведение векторов скалярное произведение векторы алгебра 11 класс значение k решение уравнения вектор a вектор b математика задачи по алгебре Новый

Для решения данной задачи необходимо воспользоваться определением скалярного произведения векторов. Скалярное произведение двух векторов a и b, обозначаемое как a · b, вычисляется по формуле:

a · b = a1 * b1 + a2 * b2 + a3 * b3

где a1, a2, a3 и b1, b2, b3 – это компоненты векторов a и b соответственно.

В нашем случае векторы a и b имеют следующие компоненты:

• a(2; 1; 2k), где a1 = 2, a2 = 1, a3 = 2k;
• b(4; 2; k+5), где b1 = 4, b2 = 2, b3 = k + 5.

Теперь подставим эти значения в формулу для скалярного произведения:

a · b = 2 * 4 + 1 * 2 + (2k) * (k + 5)

Выполним умножение и сложение:

a · b = 8 + 2 + 2k(k + 5)

Упрощаем выражение:

a · b = 10 + 2k^2 + 10k

Согласно условию задачи, скалярное произведение равно 2:

10 + 2k^2 + 10k = 2

Теперь перенесем 2 на левую сторону уравнения:

2k^2 + 10k + 10 - 2 = 0

Упростим уравнение:

2k^2 + 10k + 8 = 0

Теперь можно разделить все коэффициенты на 2 для упрощения:

k^2 + 5k + 4 = 0

Для решения квадратного уравнения воспользуемся формулой дискриминанта:

D = b^2 - 4ac

где a = 1, b = 5, c = 4. Подставим значения:

D = 5^2 - 4 * 1 * 4 = 25 - 16 = 9

Так как дискриминант положителен, уравнение имеет два различных корня, которые можно найти по формуле:

k = (-b ± √D) / (2a)

Подставим значения:

k = (-5 ± √9) / (2 * 1)

Вычисляем корни:

k1 = (-5 + 3) / 2 = -2 / 2 = -1

k2 = (-5 - 3) / 2 = -8 / 2 = -4

Таким образом, значения k, которые удовлетворяют условию задачи, равны:

k = -1 и k = -4.