Как вычислить z в степени 10, если z равно 3 плюс 5i?

Алгебра 11 класс Комплексные числа алгебра вычислить z степень 10 z равно 3 плюс 5i комплексные числа Новый

Чтобы вычислить z в степени 10, где z равно 3 плюс 5i, мы будем использовать формулу для возведения комплексного числа в степень. Давайте разберем шаги решения.

Шаг 1: Запись комплексного числа в тригонометрической форме

Комплексное число z = 3 + 5i можно представить в тригонометрической форме. Для этого нам нужно найти модуль и аргумент этого числа.

• Модуль: Модуль z обозначается |z| и вычисляется по формуле:
• |z| = √(a² + b²), где a и b - действительная и мнимая части соответственно.
• В нашем случае a = 3, b = 5. Подставим значения:
• |z| = √(3² + 5²) = √(9 + 25) = √34.
• Аргумент: Аргумент z обозначается arg(z) и вычисляется по формуле:
• arg(z) = arctan(b/a) = arctan(5/3).
• Для точного значения можно использовать калькулятор, но для дальнейших расчетов достаточно знать, что arg(z) ≈ 1.03 радиан.

Шаг 2: Запись в тригонометрической форме

Теперь мы можем записать z в тригонометрической форме:

z = |z| (cos(arg(z)) + i sin(arg(z))) = √34 (cos(1.03) + i sin(1.03)).

Шаг 3: Применение формулы Муавра

Теперь мы можем использовать формулу Муавра для возведения в степень:

z^n = |z|^n (cos(n * arg(z)) + i sin(n * arg(z))).

В нашем случае n = 10:

• |z|^10 = (√34)^10 = 34^5.
• arg(z) * 10 = 10 * 1.03 = 10.3 радиан.

Шаг 4: Вычисление

Теперь подставим значения в формулу:

• 34^5 = 45435424.
• cos(10.3) и sin(10.3) можно вычислить с помощью калькулятора:
• cos(10.3) ≈ -0.5,
• sin(10.3) ≈ -0.866.

Шаг 5: Итоговое выражение

Теперь мы можем записать z в степени 10:

z^10 = 45435424 * (-0.5 + i * -0.866).

Это равно:

z^10 ≈ -22717712 - 39317149.824i.

Таким образом, z в степени 10 равно -22717712 - 39317149.824i.