Чтобы вычислить значение выражения sin(2,5П + arctg(3/4)), мы будем использовать некоторые свойства тригонометрических функций и их аргументов. Давайте разберем это шаг за шагом.

1. Определим значение arctg(3/4):
   • arctg(3/4) - это угол, тангенс которого равен 3/4. Обозначим этот угол как α.
   • Таким образом, мы можем сказать, что tg(α) = 3/4.
2. Теперь найдем sin(2,5П + α):
   • Здесь 2,5П можно представить как 2П + П/2. Мы знаем, что sin(2П + x) = sin(x) для любого угла x.
   • Поэтому sin(2,5П + α) = sin(П/2 + α).
3. Используем формулу для суммы углов:
   • Согласно формуле, sin(П/2 + α) = sin(П/2) * cos(α) + cos(П/2) * sin(α).
   • Значения этих функций известны: sin(П/2) = 1 и cos(П/2) = 0.
   • Таким образом, выражение упрощается до: sin(П/2 + α) = 1 * cos(α) + 0 * sin(α) = cos(α).
4. Теперь найдем cos(α):
   • Нам известно, что tg(α) = 3/4. Мы можем использовать тригонометрическую идентичность: tg(α) = sin(α)/cos(α).
   • Для нахождения sin(α) и cos(α) воспользуемся прямоугольным треугольником, где противолежащая сторона равна 3, а прилежащая - 4.
   • По теореме Пифагора находим гипотенузу: h = √(3² + 4²) = √(9 + 16) = √25 = 5.
   • Тогда sin(α) = 3/5 и cos(α) = 4/5.
5. Теперь подставим значение cos(α):
   • Мы нашли, что cos(α) = 4/5.
   • Следовательно, sin(2,5П + arctg(3/4)) = cos(α) = 4/5.

Ответ: Значение выражения sin(2,5П + arctg(3/4)) равно 4/5.