Как выглядит общий вид первообразных для функции f(x)=√(2x-1) на интервале (0,5+∞)?

Нужно подробное решение!!!

Алгебра 11 класс Первообразные и интегралы первообразные функция общий вид алгебра 11 решение интервал f(x)=√(2x-1) Новый

Чтобы найти общий вид первообразных для функции f(x) = √(2x - 1) на интервале (0, 5 + ∞), мы будем следовать нескольким шагам. Начнем с нахождения неопределенного интеграла этой функции.

Шаг 1: Преобразование функции

Функция f(x) = √(2x - 1) может быть переписана в виде:

f(x) = (2x - 1)^(1/2)

Шаг 2: Нахождение производной

Перед тем как интегрировать, полезно помнить, что мы можем использовать правило интегрирования для степенной функции:

∫x^n dx = (x^(n+1))/(n+1) + C, где n ≠ -1.

Шаг 3: Применение подстановки

Для упрощения интегрирования мы можем использовать подстановку. Обозначим:

• u = 2x - 1
• Тогда du/dx = 2, или dx = du/2.

Теперь, когда мы подставим u в наш интеграл, получим:

∫√(2x - 1) dx = ∫(u^(1/2)) * (du/2)

Это можно записать как:

(1/2) * ∫u^(1/2) du.

Шаг 4: Интегрирование

Теперь интегрируем u^(1/2):

(1/2) * [(u^(3/2))/(3/2)] + C = (1/3) * u^(3/2) + C.

Теперь подставим обратно u = 2x - 1:

(1/3) * (2x - 1)^(3/2) + C.

Шаг 5: Общий вид первообразной

Таким образом, общий вид первообразной функции f(x) = √(2x - 1) будет:

F(x) = (1/3) * (2x - 1)^(3/2) + C, где C - произвольная константа интегрирования.

Важно отметить, что данная первообразная определена на интервале (0, 5 + ∞), поскольку в этом интервале выражение под корнем (2x - 1) остается неотрицательным.

Таким образом, ответ на ваш вопрос:

F(x) = (1/3) * (2x - 1)^(3/2) + C, где C - произвольная константа.