Какие существуют все возможные сочетания простых чисел q, p и r, если выполняется равенство q(p-1) = r(p+1)?

Алгебра 11 класс Системы уравнений и неравенств алгебра 11 класс сочетания простых чисел уравнение q(p-1) = r(p+1) решение уравнения свойства простых чисел Новый

Для решения уравнения q(p-1) = r(p+1) необходимо рассмотреть, какие простые числа могут быть подставлены вместо q, p и r. Начнем с анализа уравнения.

1. Раскроем скобки в уравнении:

• q(p-1) = qp - q
• r(p+1) = rp + r

Таким образом, уравнение можно переписать в следующем виде:

qp - q = rp + r

2. Переносим все слагаемые в одну сторону:

qp - rp - q - r = 0

3. Группируем по p:

(q - r)p - (q + r) = 0

4. Теперь мы можем выразить p:

(q - r)p = q + r

p = (q + r) / (q - r), если q ≠ r.

5. Теперь рассмотрим, что q, p и r — это простые числа. Простые числа больше 1, и их деление должно давать целое число. Это значит, что (q + r) должно делиться на (q - r).

6. Рассмотрим различные случаи:

• Если q = r, то уравнение превращается в 0 = 0, и p может быть любым простым числом.
• Если q ≠ r, то (q + r) должно быть кратно (q - r). Это условие можно проверить для различных простых чисел.

7. Теперь подберем простые числа для q и r. Например:

• Пусть q = 2, r = 3. Тогда:
• p = (2 + 3) / (2 - 3) = 5 / -1 (не подходит)
• Пусть q = 3, r = 2. Тогда:
• p = (3 + 2) / (3 - 2) = 5 / 1 = 5 (подходит)

8. Проверим это решение:

• q(p-1) = 3(5-1) = 3 * 4 = 12
• r(p+1) = 2(5+1) = 2 * 6 = 12

9. Таким образом, одно из возможных сочетаний: q = 3, p = 5, r = 2.

10. Можно продолжить подбирать другие простые числа и проверять, выполняется ли равенство. Однако, важно помнить, что простые числа ограничены, и не все сочетания будут давать целое значение p.

В заключение, одно из возможных сочетаний простых чисел q, p и r, которое удовлетворяет уравнению, это:

q = 3, p = 5, r = 2.