Какие свойства имеет функция f(x) = 5x² - 2x³ + 5?

Алгебра 11 класс Свойства функций свойства функции алгебра 11 класс f(x) = 5x² - 2x³ + 5 анализ функции график функции корни уравнения производная функции максимум и минимум функции Новый

Рассмотрим функцию f(x) = 5x² - 2x³ + 5. Чтобы понять ее свойства, мы проанализируем следующие аспекты:

1. Определение области определения:

   Функция f(x) является многочленом третьей степени, и многочлены определены для всех действительных чисел. Таким образом, область определения функции:

   ДО: R (все действительные числа).

2. Нахождение производной:

   Для изучения свойств функции, таких как монотонность и экстремумы, найдем первую производную:

   f'(x) = d/dx (5x² - 2x³ + 5) = 10x - 6x².

3. Нахождение критических точек:

   Чтобы найти критические точки, приравняем первую производную к нулю:

   10x - 6x² = 0.

   Вынесем общий множитель:

   2x(5 - 3x) = 0.

   Таким образом, критические точки:

   • x = 0,
   • x = 5/3.
4. Нахождение второй производной:

   Для определения выпуклости функции найдем вторую производную:

   f''(x) = d/dx (10x - 6x²) = 10 - 12x.

5. Анализ знака второй производной:

   Приравняем вторую производную к нулю, чтобы найти точки перегиба:

   10 - 12x = 0 => x = 5/6.

   Теперь определим знак второй производной на интервалах:

   • Для x < 5/6: f''(x) > 0 (выпуклая);
   • Для x > 5/6: f''(x) < 0 (вогнутая).
6. Исследование пределов:

   Посмотрим, как ведет себя функция при x стремящемся к бесконечности:

   lim (x → ∞) f(x) = -∞ (так как ведущий член -2x³ определяет поведение функции при больших x).

   lim (x → -∞) f(x) = +∞ (ведущий член также определяет поведение функции при отрицательных x).

7. Нахождение значений функции в критических точках:

   Найдем значения функции в критических точках:

   • f(0) = 5;
   • f(5/3) = 5(5/3)² - 2(5/3)³ + 5 = 25/3 - 50/27 + 5 = 25/3 - 50/27 + 135/27 = 25/3 + 85/27 = 225/27 = 25/3.

Таким образом, мы определили основные свойства функции:

• Область определения: R;
• Критические точки: x = 0 и x = 5/3;
• Точка перегиба: x = 5/6;
• Функция возрастает на интервале (-∞, 0) и (5/3, +∞), убывает на интервале (0, 5/3);
• Функция имеет максимум в точке x = 0 и минимум в точке x = 5/3;
• При x → ∞, f(x) → -∞; при x → -∞, f(x) → +∞.

Эти свойства помогут вам лучше понять поведение функции f(x). Если у вас есть вопросы, не стесняйтесь задавать!