Похожие вопросы
2025-02-13 20:53:24
Какие значения р делают так, что уравнение
8+4p(x-2)=(x-|x|)x
имеет лишь одно решение? Найдите это решение для каждого р.
Алгебра 11 класс Уравнения с параметрами уравнение 8+4p(x-2) одно решение уравнения значения p алгебра 11 класс решение уравнений Новый
2025-02-13 20:53:46
Для того чтобы решить уравнение 8 + 4p(x - 2) = (x - |x|)x и выяснить, при каких значениях p оно имеет лишь одно решение, давайте сначала упростим обе стороны уравнения.
Сначала разберем правую часть уравнения. Выражение (x - |x|) зависит от значения x:
- Если x >= 0, то |x| = x, и (x - |x|) = 0. В этом случае правая часть уравнения будет равна 0.
- Если x < 0, то |x| = -x, и (x - |x|) = 2x. В этом случае правая часть уравнения будет равна 2x^2.
Теперь запишем уравнение для двух случаев:
- Случай 1: x >= 0
Уравнение принимает вид: 8 + 4p(x - 2) = 0.
Решим его:
- 4p(x - 2) = -8
- x - 2 = -2/p
- x = -2/p + 2.
Для того чтобы это решение было допустимым, необходимо, чтобы -2/p + 2 >= 0. Это дает нам неравенство:
- -2/p + 2 >= 0
- 2/p <= 2
- p >= 1.
- Случай 2: x < 0
Уравнение принимает вид: 8 + 4p(x - 2) = 2x^2.
Перепишем уравнение:
- 2x^2 - 4px + 8 + 8p = 0.
Это квадратное уравнение в форме ax^2 + bx + c = 0, где:
- a = 2,
- b = -4p,
- c = 8 + 8p.
Чтобы у этого уравнения было ровно одно решение, дискриминант должен равняться нулю:
- D = b^2 - 4ac = (-4p)^2 - 4 * 2 * (8 + 8p) = 16p^2 - 8(8 + 8p).
- Упростим: D = 16p^2 - 64 - 64p.
- Для D = 0: 16p^2 - 64p - 64 = 0.
Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:
- D1 = (-64)^2 - 4 * 16 * (-64) = 4096 + 4096 = 8192.
- p = (64 ± √8192) / (2 * 16) = (64 ± 64√2) / 32.
Таким образом, p = 2 ± 2√2.
Теперь у нас есть два случая:
- При p >= 1 у нас есть решение x = -2/p + 2 для x >= 0.
- При p = 2 - 2√2 и p = 2 + 2√2 у нас есть одно решение для x < 0.
Итак, значения p, при которых уравнение имеет лишь одно решение, это p = 2 - 2√2 и p = 2 + 2√2. Для каждого из этих значений мы можем найти соответствующее решение.
