Какое из следующих произведений положительно, если 0 < p < 1 и 1 < n < m? Варианты: A) logₚ m * logₘ 1 B) logₚ n * logₚ m C) logₘ p * logₙ m D) logₚ m * logₘ 1 E) logₚ n * logₙ m
Чтобы определить, какое из предложенных произведений положительно, давайте проанализируем каждое из них.
Сначала вспомним некоторые свойства логарифмов:
1. Логарифм числа по основанию p (logₚ x) положителен, если x > 1, и отрицателен, если 0 < x < 1.
2. Логарифм числа по основанию p (logₚ x) равен 0, если x = 1.
Теперь рассмотрим каждый вариант:
A) logₚ m * logₘ 1
- logₘ 1 всегда равно 0, так как любое число в степени 0 равно 1. Следовательно, произведение logₚ m * logₘ 1 = logₚ m * 0 = 0. Это не положительное число.
B) logₚ n * logₚ m
- Поскольку 0 < p < 1 и 1 < n < m, то logₚ n и logₚ m оба будут отрицательными (так как n и m больше 1). Произведение двух отрицательных чисел всегда положительно. Значит, это произведение положительно.
C) logₘ p * logₙ m
- logₘ p будет отрицательным, так как 0 < p < 1 и m > 1. logₙ m будет положительным, так как n < m и n > 1. Произведение одного отрицательного и одного положительного числа всегда отрицательно. Значит, это произведение не положительно.
D) logₚ m * logₘ 1
- Этот вариант аналогичен варианту A. logₘ 1 = 0, следовательно, произведение logₚ m * logₘ 1 = 0. Это не положительное число.
E) logₚ n * logₙ m
- logₚ n будет отрицательным, так как 0 < p < 1 и n > 1. logₙ m будет положительным, так как n < m и n > 1. Произведение одного отрицательного и одного положительного числа всегда отрицательно. Значит, это произведение не положительно.
Теперь подведем итог:
- Из всех рассмотренных вариантов положительным является только вариант B: logₚ n * logₚ m.
Таким образом, правильный ответ: B) logₚ n * logₚ m.
