Какое количество всех целых значений x удовлетворяет неравенству log (x+1) по основанию 3 меньше log (4x+3) по основанию 9?

Алгебра 11 класс Неравенства с логарифмами неравенство логарифмы целые значения алгебра 11 класс решение неравенств Новый

Для того чтобы решить неравенство log₃(x+1) < log₉(4x+3), сначала преобразуем логарифмы к одному основанию. Заметим, что log₉(4x+3) можно выразить через логарифм с основанием 3:

log₉(4x+3) = log₃(4x+3) / log₃(9).

Мы знаем, что log₃(9) = log₃(3²) = 2. Следовательно:

log₉(4x+3) = log₃(4x+3) / 2.

Теперь подставим это в неравенство:

log₃(x+1) < log₃(4x+3) / 2.

Умножим обе стороны на 2 (так как 2 положительно, знак неравенства не изменится):

2 * log₃(x+1) < log₃(4x+3).

Теперь применим свойства логарифмов:

log₃((x+1)²) < log₃(4x+3).

Так как логарифм является строго возрастающей функцией, мы можем убрать логарифмы:

(x+1)² < 4x + 3.

Теперь раскроем скобки:

(x² + 2x + 1) < 4x + 3.

Переносим все в одну сторону:

x² + 2x + 1 - 4x - 3 < 0.

Упрощаем:

x² - 2x - 2 < 0.

Теперь найдем корни квадратного уравнения x² - 2x - 2 = 0 с помощью формулы корней:

x = (b ± √(b² - 4ac)) / 2a, где a = 1, b = -2, c = -2.

Подставляем значения:

x = (2 ± √((-2)² - 4 * 1 * (-2))) / (2 * 1).

Это равно:

x = (2 ± √(4 + 8)) / 2 = (2 ± √12) / 2 = (2 ± 2√3) / 2 = 1 ± √3.

Корни уравнения: x₁ = 1 - √3 и x₂ = 1 + √3.

Теперь определим промежутки, где неравенство x² - 2x - 2 < 0 выполняется. Это происходит между корнями:

1 - √3 < x < 1 + √3.

Теперь найдем приближенные значения корней:

√3 ≈ 1.732, следовательно:

1 - √3 ≈ 1 - 1.732 = -0.732,

1 + √3 ≈ 1 + 1.732 = 2.732.

Таким образом, неравенство выполняется для:

-0.732 < x < 2.732.

Теперь найдем целые значения x в этом интервале:

• x = -0 (так как -0.732 < -1 < 0),
• x = 0,
• x = 1,
• x = 2.

Целые значения x, удовлетворяющие неравенству, это -1, 0, 1, 2.

Всего 4 целых значения.

Ответ: 4.