Какое максимальное значение принимает функция y=4cosx-2x-2 на интервале [0;П/2]?

Алгебра 11 класс Оптимизация функций максимальное значение функции y=4cosx-2x-2 интервал [0;П/2] алгебра 11 класс задачи по алгебре Новый

Чтобы найти максимальное значение функции y = 4cos(x) - 2x - 2 на интервале [0; π/2], следуем следующему плану:

1. Найдем производную функции:

Для начала, найдем производную функции y:

y' = -4sin(x) - 2.

2. Найдем критические точки:

Критические точки находятся там, где производная равна нулю или не существует. Приравняем производную к нулю:

-4sin(x) - 2 = 0.

Решим это уравнение:

-4sin(x) = 2

sin(x) = -1/2.

На интервале [0; π/2] значение sin(x) не может быть отрицательным, следовательно, критических точек в интервале нет.

3. Исследуем значения функции на границах интервала:

Поскольку критических точек нет, проверим значения функции на границах интервала:

• Вычислим значение функции в x = 0:

y(0) = 4cos(0) - 2*0 - 2 = 4*1 - 0 - 2 = 2.

• Вычислим значение функции в x = π/2:

y(π/2) = 4cos(π/2) - 2*(π/2) - 2 = 4*0 - π - 2 = -π - 2.

4. Сравним значения:

Теперь сравним найденные значения:

• y(0) = 2
• y(π/2) = -π - 2 (примерно -5.14)
5. Вывод:

Максимальное значение функции на интервале [0; π/2] равно 2 и достигается при x = 0.

Ответ: Максимальное значение функции y = 4cos(x) - 2x - 2 на интервале [0; π/2] равно 2.