Какое минимальное значение функции y=5x-5ln(x+4)+2 можно определить на интервале [-3;0]?

Алгебра 11 класс Оптимизация функций минимальное значение функции y=5x-5ln(x+4)+2 интервал [-3;0] алгебра 11 класс решение задачи по алгебре Новый

Чтобы найти минимальное значение функции y = 5x - 5ln(x + 4) + 2 на интервале [-3; 0], нам нужно выполнить несколько шагов.

1. Определение области определения функции:
   • Функция ln(x + 4) определена для x + 4 > 0, то есть x > -4.
   • Поскольку мы рассматриваем интервал [-3; 0], область определения функции в этом интервале допустима, так как -3 > -4.
2. Нахождение производной функции:
   • Найдем производную функции y по x:
   • y' = 5 - 5 * (1/(x + 4)) = 5 - 5/(x + 4).
3. Нахождение критических точек:
   • Приравняем производную к нулю: 5 - 5/(x + 4) = 0.
   • Решим уравнение: 5/(x + 4) = 5.
   • Это приводит к уравнению: 1 = x + 4, следовательно, x = -3.
4. Определение значений функции в критических точках и на границах интервала:
   • Теперь вычислим значения функции y в точках -3 и 0.
   • Для x = -3: y(-3) = 5*(-3) - 5ln(-3 + 4) + 2 = -15 - 5ln(1) + 2 = -15 + 2 = -13.
   • Для x = 0: y(0) = 5*0 - 5ln(0 + 4) + 2 = 0 - 5ln(4) + 2 = 2 - 5ln(4).
5. Сравнение значений:
   • Теперь нам нужно сравнить y(-3) и y(0).
   • y(-3) = -13.
   • y(0) = 2 - 5ln(4). Поскольку ln(4) положительное число, то 5ln(4) > 0, следовательно, y(0) < 2.
   • Приблизительно, ln(4) ≈ 1.386, тогда 5ln(4) ≈ 6.93, и y(0) ≈ 2 - 6.93 = -4.93.

Таким образом, значения функции на границах интервала и в критической точке:

• y(-3) = -13
• y(0) ≈ -4.93

Минимальное значение функции на интервале [-3; 0] равно y(-3) = -13.

Ответ: Минимальное значение функции на интервале [-3; 0] равно -13.