Чтобы найти минимальное значение функции y = x^3 - 8x^2 + 16x + 17 на интервале [3, 15], нам нужно выполнить несколько шагов.

1. Найти производную функции.

   Сначала мы найдем производную функции y. Производная y' = 3x^2 - 16x + 16.

2. Найти критические точки.

   Чтобы найти критические точки, мы приравняем производную к нулю:

   3x^2 - 16x + 16 = 0.

   Теперь мы можем использовать дискриминант для решения квадратного уравнения:

   D = b^2 - 4ac = (-16)^2 - 4 * 3 * 16 = 256 - 192 = 64.

   Так как D > 0, у нас есть два различных корня:

   x1 = (16 + √64) / (2 * 3) = (16 + 8) / 6 = 24 / 6 = 4.

   x2 = (16 - √64) / (2 * 3) = (16 - 8) / 6 = 8 / 6 = 4/3.

   Однако, x2 = 4/3 не входит в наш интервал [3, 15]. Следовательно, критическая точка, которую мы будем рассматривать, это x = 4.

3. Вычислить значение функции в критической точке и на границах интервала.

   Теперь нам нужно вычислить значение функции в критической точке и на границах интервала:

   • y(3) = 3^3 - 8 * 3^2 + 16 * 3 + 17 = 27 - 72 + 48 + 17 = 20.
   • y(4) = 4^3 - 8 * 4^2 + 16 * 4 + 17 = 64 - 128 + 64 + 17 = 17.
   • y(15) = 15^3 - 8 * 15^2 + 16 * 15 + 17 = 3375 - 1800 + 240 + 17 = 1832.
4. Сравнить значения и найти минимальное.

   Теперь мы сравним значения функции:

   • y(3) = 20
   • y(4) = 17
   • y(15) = 1832

   Минимальное значение функции на интервале [3, 15] равно 17, которое достигается в точке x = 4.

Ответ: Минимальное значение функции y = x^3 - 8x^2 + 16x + 17 на интервале [3, 15] равно 17.