Чтобы найти минимальное значение функции y = x^3 + 8x^2 + 20x - 1 на интервале [-3; 5], мы будем следовать нескольким шагам:

1. Найдем производную функции.

Для этого мы дифференцируем функцию:

y' = 3x^2 + 16x + 20.

2. Найдем критические точки.

Критические точки находятся там, где производная равна нулю:

3x^2 + 16x + 20 = 0.

Решим это квадратное уравнение. Для этого найдем дискриминант:

D = b^2 - 4ac = 16^2 - 4 * 3 * 20 = 256 - 240 = 16.

Поскольку дискриминант положителен, у нас есть два корня:

x1 = (-b + √D) / (2a) = (-16 + 4) / 6 = -2;

x2 = (-b - √D) / (2a) = (-16 - 4) / 6 = -10/3 (примерно -3.33).

3. Определим, какие из критических точек находятся в интервале [-3; 5].

Из найденных корней, только x1 = -2 попадает в интервал [-3; 5]. x2 = -10/3 находится вне этого интервала.

4. Теперь найдем значения функции в критической точке и на границах интервала.
• На границе x = -3:

y(-3) = (-3)^3 + 8*(-3)^2 + 20*(-3) - 1 = -27 + 72 - 60 - 1 = -16.

• На границе x = 5:

y(5) = (5)^3 + 8*(5)^2 + 20*(5) - 1 = 125 + 200 + 100 - 1 = 424.

• В критической точке x = -2:

y(-2) = (-2)^3 + 8*(-2)^2 + 20*(-2) - 1 = -8 + 32 - 40 - 1 = -17.

5. Сравним все найденные значения.

Мы нашли следующие значения функции:

• y(-3) = -16
• y(5) = 424
• y(-2) = -17
6. Вывод.

Минимальное значение функции на интервале [-3; 5] равно -17 и достигается в точке x = -2.

Таким образом, минимальное значение функции y = x^3 + 8x^2 + 20x - 1 на интервале [-3; 5] равно -17.