Какое минимальное значение может иметь функция y=7x-ln(x+11)^7 на интервале [-10,5;0]?

Алгебра 11 класс Оптимизация функций минимальное значение функции y=7x-ln(x+11)^7 интервал [-10,5;0] алгебра 11 класс анализ функции Новый

Для нахождения минимального значения функции y = 7x - ln((x + 11)^7) на заданном интервале [-10, 0], мы будем использовать методы анализа функций. Давайте разберем шаги решения этой задачи.

Шаг 1: Упростим функцию

Сначала упростим функцию. Мы знаем, что ln(a^b) = b * ln(a), поэтому:

y = 7x - ln((x + 11)^7) = 7x - 7 * ln(x + 11).

Таким образом, функция становится:

y = 7x - 7ln(x + 11).

Шаг 2: Найдем производную функции

Теперь найдем производную функции y по x:

y' = 7 - 7 * (1/(x + 11)) * (1) = 7 - 7/(x + 11).

Упростим производную:

y' = 7 - 7/(x + 11) = (7(x + 11) - 7) / (x + 11) = (7x + 77 - 7) / (x + 11) = (7x + 70) / (x + 11).

Шаг 3: Найдем критические точки

Чтобы найти критические точки, приравняем производную к нулю:

(7x + 70) / (x + 11) = 0.

Это уравнение равно нулю, когда числитель равен нулю:

7x + 70 = 0.

Решим это уравнение:

x = -10.

Шаг 4: Проверим границы интервала

Теперь нам нужно вычислить значения функции в критической точке и на границах интервала:

• y(-10) = 7(-10) - 7ln(-10 + 11) = -70 - 7ln(1) = -70 - 0 = -70.
• y(0) = 7(0) - 7ln(0 + 11) = 0 - 7ln(11) = -7ln(11).

Шаг 5: Сравним значения

Теперь нужно сравнить полученные значения:

• y(-10) = -70.
• y(0) = -7ln(11). Поскольку ln(11) примерно равно 2.398, то -7ln(11) примерно равно -16.786.

Шаг 6: Найдем минимальное значение

Сравнив -70 и -16.786, мы видим, что:

-70 < -16.786.

Следовательно, минимальное значение функции на интервале [-10, 0] равно -70, и оно достигается в точке x = -10.

Ответ: Минимальное значение функции y = 7x - ln((x + 11)^7) на интервале [-10, 0] равно -70.