Чтобы найти многочлен P(x), который удовлетворяет условию P(x+1) + P(x-1) = 2x² + 2, начнем с анализа самого выражения.

Сначала заметим, что правая часть уравнения, 2x² + 2, является многочленом второй степени. Это подсказывает нам, что P(x) также может быть многочленом второй степени. Мы предположим, что P(x) имеет вид:

• P(x) = ax² + bx + c,

где a, b и c - некоторые коэффициенты, которые нам нужно определить.

Теперь найдем P(x+1) и P(x-1):

• P(x+1) = a(x+1)² + b(x+1) + c = a(x² + 2x + 1) + b(x + 1) + c = ax² + (2a + b)x + (a + b + c),
• P(x-1) = a(x-1)² + b(x-1) + c = a(x² - 2x + 1) + b(x - 1) + c = ax² + (-2a + b)x + (a - b + c).

Теперь сложим P(x+1) и P(x-1):

• P(x+1) + P(x-1) = [ax² + (2a + b)x + (a + b + c)] + [ax² + (-2a + b)x + (a - b + c)] = 2ax² + [(2a + b) + (-2a + b)]x + [(a + b + c) + (a - b + c)].

Упростим это выражение:

• 2ax² + (2b)x + (2a + 2c) = 2ax² + 2bx + (2a + 2c).

Теперь приравняем это выражение к 2x² + 2:

• 2ax² + 2bx + (2a + 2c) = 2x² + 2.

Сравнивая коэффициенты, получаем систему уравнений:

• 2a = 2,
• 2b = 0,
• 2a + 2c = 2.

Решим эту систему:

1. Из первого уравнения: 2a = 2, отсюда a = 1.
2. Из второго уравнения: 2b = 0, отсюда b = 0.
3. Подставим a = 1 в третье уравнение: 2(1) + 2c = 2, тогда 2 + 2c = 2, отсюда 2c = 0, значит c = 0.

Таким образом, мы нашли коэффициенты:

• a = 1,
• b = 0,
• c = 0.

Следовательно, многочлен P(x) имеет вид:

• P(x) = 1x² + 0x + 0 = x².

Итак, ответ: