Чтобы решить неравенство log(2/3)(x+3) < 9, начнем с преобразования логарифмического неравенства в экспоненциальную форму.

1. Запишем неравенство в экспоненциальной форме:
• log(2/3)(x+3) < 9 означает, что (2/3)⁹ > x + 3.
2. Теперь вычислим (2/3)⁹:
• (2/3)⁹ = 2⁹ / 3⁹.
• 2⁹ = 512 и 3⁹ = 19683.
• Таким образом, (2/3)⁹ = 512 / 19683.

Теперь подставим это значение в неравенство:

(2/3)⁹ > x + 3.

Теперь выразим x:

1. Перепишем неравенство:
• x + 3 < 512 / 19683.
2. Вычтем 3 из обеих сторон:
• x < 512 / 19683 - 3.

Теперь найдем правую часть:

1. Приведем 3 к общему знаменателю:
• 3 = 3 * (19683 / 19683) = 59049 / 19683.
2. Теперь вычтем:
• x < 512 / 19683 - 59049 / 19683 = (512 - 59049) / 19683.

Теперь вычислим 512 - 59049:

512 - 59049 = -58537.

Таким образом, имеем:

x < -58537 / 19683.

Теперь нам нужно найти наибольшее целое значение для x. Поскольку -58537 / 19683 примерно равно -2.97, наибольшее целое решение будет -3.

Итак, ответ:

Наибольшее целое решение неравенства log(2/3)(x+3) < 9 равно -3.