Какое наибольшее значение имеет функция y=3tgx-3x+5 на интервале [-π/4;0]?

Алгебра 11 класс Оптимизация функций Наибольшее значение функции y=3tgx-3x+5 интервал [-π/4;0] алгебра математический анализ Новый

Чтобы найти наибольшее значение функции y = 3tg(x) - 3x + 5 на интервале [-π/4; 0], мы будем следовать нескольким шагам:

1. Определим область определения функции.

   Функция tg(x) имеет разрывы в точках (π/2 + kπ), где k - целое число. На нашем интервале [-π/4; 0] разрывов нет, поэтому функция определена на всем интервале.

2. Найдём производную функции.

   Для нахождения экстремумов функции, нужно найти её производную:

   y' = 3 * (1/cos^2(x)) - 3 = 3sec^2(x) - 3.

3. Приравняем производную к нулю.

   Теперь решим уравнение:

   3sec^2(x) - 3 = 0.

   Это уравнение можно упростить:

   sec^2(x) = 1.

   Следовательно, cos^2(x) = 1, что дает cos(x) = ±1. На нашем интервале [-π/4; 0] значение cos(x) = 1 достигается только в точке x = 0.

4. Найдём значения функции на границах интервала и в точке, где производная равна нулю.
   • На границе x = -π/4:

   y(-π/4) = 3tg(-π/4) - 3(-π/4) + 5 = 3*(-1) + 3π/4 + 5 = -3 + 3π/4 + 5 = 3π/4 + 2.

   • На границе x = 0:

   y(0) = 3tg(0) - 3(0) + 5 = 0 + 0 + 5 = 5.

   • В точке x = 0:

   y(0) = 5 (уже посчитали).

5. Сравним полученные значения.

   Теперь сравним значения функции:

   • y(-π/4) = 3π/4 + 2.
   • y(0) = 5.

   Для оценки y(-π/4) заметим, что 3π/4 примерно равно 2.36, следовательно:

   3π/4 + 2 ≈ 4.36.

Таким образом, наибольшее значение функции на интервале [-π/4; 0] составляет:

5.