Чтобы найти наибольшее значение произведения a и b при условии, что сумма a + 3b равна 18, мы можем использовать метод оптимизации с применением производной. Давайте разберем шаги решения этой задачи.

1. Выразим одну переменную через другую.

   У нас есть уравнение: a + 3b = 18. Выразим a через b:

   a = 18 - 3b

2. Составим функцию для произведения.

   Наша цель - максимизировать произведение P = a * b. Подставим выражение для a:

   P = (18 - 3b) * b = 18b - 3b^2

3. Найдем производную функции произведения.

   Чтобы найти точки максимума или минимума, найдем производную P'(b):

   P'(b) = 18 - 6b

4. Найдем критические точки.

   Приравняем производную к нулю, чтобы найти критические точки:

   18 - 6b = 0

   Решим это уравнение:

   6b = 18

   b = 3

5. Проверим найденную точку на максимум.

   Для этого можно использовать второй производной или просто подставить в функцию и проверить значения на концах интервала. Но в данном случае, поскольку у нас квадратичная функция, максимум будет в вершине параболы, которая найдена в шаге 4.

6. Найдем значение a при b = 3.

   Подставим b = 3 в выражение для a:

   a = 18 - 3 * 3 = 9

7. Найдем наибольшее значение произведения.

   Теперь подставим a = 9 и b = 3 в выражение для P:

   P = 9 * 3 = 27

Таким образом, наибольшее значение, которое может принимать произведение a и b при условии, что a + 3b = 18, равно 27.